Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{1 + e^{x}}$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int d x}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{x + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{x}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \frac{1}{1 + e^{x}}$

Langkah 2.2

Gabungkan $e^{x}$ dan $\frac{1}{1 + e^{x}}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Langkah 2.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{x} y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = 1 + e^{x}$ . Kemudian $d u = e^{x} d x$ sehingga $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Biarkan $u = 1 + e^{x}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Diferensialkan $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Langkah 6.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + e^{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 6.1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 6.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Langkah 6.1.1.4

Tambahkan $0$ dan $e^{x}$ .

$e^{x}$

Langkah 6.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{x} y = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 6.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$e^{x} y = \ln (| u |) + C$

Langkah 6.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + e^{x}$ .

$e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ dengan $e^{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ dengan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |) + C}{e^{x}}$