Kalkulus Contoh

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$ , $y (0) = 5$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

Langkah 2.3.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Langkah 2.3.4.2

Kalikan $\int e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Langkah 2.3.5

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3.5.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.5.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.3.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Langkah 2.3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Langkah 2.3.7

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Langkah 2.3.8

Tulis kembali $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ sebagai $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Langkah 2.3.9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

Langkah 3

Bagi setiap suku pada $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagilah setiap suku di $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ dengan $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Langkah 3.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 4 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

Langkah 3.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 4 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

Langkah 3.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

Langkah 3.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $K$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

Langkah 3.3.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Langkah 3.3.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.6.1

Tulis kembali $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ sebagai $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ .

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Langkah 3.3.3.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $5$ untuk $y$ padda $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ .

$5 = - \frac{4 \cdot 0 e^{- 0} + 4 e^{0} + K}{2}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$ .

$- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$

Langkah 6.2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $- 2$ .

$- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}) = - 2 \cdot 5$

Langkah 6.3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Sederhanakan $- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 2 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Langkah 6.3.1.1.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Langkah 6.3.1.1.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Langkah 6.3.1.1.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- - (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Langkah 6.3.1.1.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- - (4 \cdot (0 e^{0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Langkah 6.3.1.1.1.2.2

Kalikan dengan nol.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $e^{0}$ .

$- - (4 \cdot 0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Langkah 6.3.1.1.1.2.2.2

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$- - (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Langkah 6.3.1.1.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Langkah 6.3.1.1.1.2.4

Kalikan $0 + 4 e^{0} + K$ dengan $1$ .

$0 + 4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

Langkah 6.3.1.1.1.2.5

Tambahkan $0$ dan $4 e^{0}$ .

$4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

Langkah 6.3.1.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$4 \cdot 1 + K = - 2 \cdot 5$

Langkah 6.3.1.1.2.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + K = - 2 \cdot 5$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $5$ .

$4 + K = - 10$

Langkah 6.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = - 10 - 4$

Langkah 6.4.2

Kurangi $4$ dengan $- 10$ .

$K = - 14$

Langkah 7

Substitusikan $- 14$ untuk $K$ dalam $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $- 14$ untuk $K$ .

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14}{2}$

Langkah 7.2

Hapus faktor persekutuan dari $4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 x e^{- x}$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 4 e^{- x} - 14}{2}$

Langkah 7.2.2

Faktorkan $2$ dari $4 e^{- x}$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x}) - 14}{2}$

Langkah 7.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 14}{2}$

Langkah 7.2.4

Faktorkan $2$ dari $- 14$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 \cdot - 7}{2}$

Langkah 7.2.5

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 (- 7)$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2}$

Langkah 7.2.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 (1)}$

Langkah 7.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7}{1}$

Langkah 7.2.6.4

Bagilah $2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7$ dengan $1$ .

$y = - (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)$

Langkah 7.3

Terapkan sifat distributif.

$y = - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

Langkah 7.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

Langkah 7.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} - - 7$

Langkah 7.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 7$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + 7$

$y = - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + 7$