Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x + 3}{y - 5}$ , $y (0) = 8$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y - 5$ .

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{5 x + 3}{y - 5}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{5 x + 3}{y - 5}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = 5 x + 3$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(y - 5) d y = (5 x + 3) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y d y + \int - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

Langkah 2.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 5 y + C_{2} = \int 5 x + 3 d x$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 5 x + 3 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 5 x d x + \int 3 d x$

Langkah 2.3.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 \int x d x + \int 3 d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 3 d x$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 3 x + C_{5}$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 3 x + C_{5}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + C_{6}$

Langkah 2.3.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + K$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + K$

Langkah 3.3

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kurangkan $\frac{5 x^{2}}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} = 3 x + K$

Langkah 3.3.2

Kurangkan $3 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} - 3 x = K$

Langkah 3.3.3

Kurangkan $K$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} - 3 x - K = 0$

Langkah 3.4

Kalikan dengan penyebut sekutu terkecil $2$ , kemudian sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.2

Kalikan $- 5$ dengan $2$ .

$y^{2} - 10 y + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{5 x^{2}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.4

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} - 6 x + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} - 6 x - 2 K = 0$

Langkah 3.4.3

Pindahkan $- 10 y$ .

$y^{2} - 5 x^{2} - 6 x - 2 K - 10 y = 0$

Langkah 3.4.4

Pindahkan $- 6 x$ .

$y^{2} - 5 x^{2} - 2 K - 6 x - 10 y = 0$

Langkah 3.4.5

Susun kembali $y^{2}$ dan $- 5 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} + y^{2} - 2 K - 6 x - 10 y = 0$

Langkah 3.5

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.6

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 10$ , dan $c = - 5 x^{2} - 2 K - 6 x$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Naikkan $- 10$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.4.1

Kalikan $- 5$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.4.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} + 8 K - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.4.3

Kalikan $- 6$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.5

Faktorkan $4$ dari $100 + 20 x^{2} + 8 K + 24 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.5.1

Faktorkan $4$ dari $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 20 x^{2} + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.5.2

Faktorkan $4$ dari $20 x^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.5.3

Faktorkan $4$ dari $8 K$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 4 (2 K) + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.5.4

Faktorkan $4$ dari $24 x$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.5.5

Faktorkan $4$ dari $4 (25) + 4 (5 x^{2})$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.5.6

Faktorkan $4$ dari $4 (25 + 5 x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2} + 2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.5.7

Faktorkan $4$ dari $4 (25 + 5 x^{2} + 2 K) + 4 (6 x)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.6

Tulis kembali $4 (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)$ sebagai $2^{2} (5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.6.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.6.2

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.8

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2}$

Langkah 3.7.3

Sederhanakan $\frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

Langkah 3.8

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$

Langkah 5

Karena $y$ positif pada sarat awal $(0, 8)$ , hanya pertimbangkan $y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$ untuk menentukan $K$ . Substitusikan $0$ untuk $x$ dan $8$ untuk $y$ .

$8 = 5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8$ .

$5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8$

Langkah 6.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8 - 5$

Langkah 6.2.2

Kurangi $5$ dengan $8$ .

$\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 3$

Langkah 6.3

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}}^{2} = 3^{2}$

Langkah 6.4

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$ sebagai ${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Sederhanakan ${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Langkah 6.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Langkah 6.4.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

Langkah 6.4.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

${(25 + 5 \cdot 0 + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

Langkah 6.4.2.1.2.2

Kalikan $5$ dengan $0$ .

${(25 + 0 + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

Langkah 6.4.2.1.2.3

Kalikan $6$ dengan $0$ .

${(25 + 0 + K + 0)}^{1} = 3^{2}$

Langkah 6.4.2.1.3

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.3.1

Gabungkan suku balikan dalam $25 + 0 + K + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.3.1.1

Tambahkan $25$ dan $0$ .

${(25 + K + 0)}^{1} = 3^{2}$

Langkah 6.4.2.1.3.1.2

Tambahkan $25 + K$ dan $0$ .

${(25 + K)}^{1} = 3^{2}$

Langkah 6.4.2.1.3.2

Sederhanakan.

$25 + K = 3^{2}$

Langkah 6.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$25 + K = 9$

Langkah 6.5

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Kurangkan $25$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 9 - 25$

Langkah 6.5.2

Kurangi $25$ dengan $9$ .

$K = - 16$

Langkah 7

Substitusikan $- 16$ untuk $K$ dalam $y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $- 16$ untuk $K$ .

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} - 16 + 6 x}$

Langkah 7.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kurangi $16$ dengan $25$ .

$y = 5 + \sqrt{5 x^{2} + 9 + 6 x}$

Langkah 7.2.2

Susun kembali suku-suku.

$y = 5 + \sqrt{5 x^{2} + 6 x + 9}$