Kalkulus Contoh

$y \frac{d y}{d x} = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $a$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $a$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = 1 + \frac{x}{b}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{b} d x$ sehingga $b d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = 1 + \frac{x}{b}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{x}{b}]$

Langkah 2.3.2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \frac{x}{b}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

Langkah 2.3.2.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

Langkah 2.3.2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.1

Karena $\frac{1}{b}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{b}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{b} \cdot 1$

Langkah 2.3.2.1.3.3

Kalikan $\frac{1}{b}$ dengan $1$ .

$0 + \frac{1}{b}$

Langkah 2.3.2.1.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{b}$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{b}} d u$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} (1 b) d u$

Langkah 2.3.3.2

Kalikan $b$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} b d u$

Langkah 2.3.3.3

Gabungkan $\frac{1}{u^{2}}$ dan $b$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{b}{u^{2}} d u$

Langkah 2.3.4

Karena $b$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $b$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a (b \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Langkah 2.3.5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Langkah 2.3.5.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Langkah 2.3.5.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{- 2} d u$

Langkah 2.3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- u^{- 1} + C_{2})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Tulis kembali $a b (- u^{- 1} + C_{2})$ sebagai $a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.1

Gabungkan $a$ dan $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = b (- \frac{a}{u}) + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.2

Gabungkan $b$ dan $\frac{a}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{u} + C_{2}$

Langkah 2.3.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b}{b} + \frac{x}{b}} + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b + x}{b}} + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y^{2} = 2 (- (b a \frac{b}{b + x}) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.3

Kalikan $b a \frac{b}{b + x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.3.1

Gabungkan $b$ dan $\frac{b}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b \cdot b}{b + x}) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.3.2

Naikkan $b$ menjadi pangkat $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b}{b + x}) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.3.3

Naikkan $b$ menjadi pangkat $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b^{1}}{b + x}) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1 + 1}}{b + x}) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{2}}{b + x}) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.3.6

Gabungkan $a$ dan $\frac{b^{2}}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Untuk menuliskan $K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{b + x}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + \frac{K (b + x)}{b + x})$

Langkah 3.2.2.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K (b + x)}{b + x}$

Langkah 3.2.2.1.4

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$

Langkah 3.2.2.1.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$ .

$y^{2} = \frac{2 (- a b^{2} + K b + K x)}{b + x}$

Langkah 3.2.2.1.5.2

Faktorkan $- 1$ dari $- a b^{2}$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) + K b + K x)}{b + x}$

Langkah 3.2.2.1.5.3

Faktorkan $- 1$ dari $K b$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) - (- K b) + K x)}{b + x}$

Langkah 3.2.2.1.5.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (a b^{2}) - (- K b)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) + K x)}{b + x}$

Langkah 3.2.2.1.5.5

Faktorkan $- 1$ dari $K x$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) - (- K x))}{b + x}$

Langkah 3.2.2.1.5.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (a b^{2} - K b) - (- K x)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

Langkah 3.2.2.1.5.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.5.7.1

Tulis kembali $- (a b^{2} - K b - K x)$ sebagai $- 1 (a b^{2} - K b - K x)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- 1 (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

Langkah 3.2.2.1.5.7.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = - \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Langkah 3.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Langkah 3.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Langkah 3.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$