Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} = 5 y + 2 x^{3} - x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $5 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d y}{d x} - 5 y = 2 x^{3} - x$

Langkah 1.2

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} - 5 y = 2 x^{3} - x$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.3.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.4

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $x$ dari $2 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.4.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.4.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.4.2.5

Bagilah $2 x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} + \frac{- x}{x}$

Langkah 1.5.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} - 1$

Langkah 1.6

Faktorkan $y$ dari $\frac{- 5 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 5}{x} = 2 x^{2} - 1$

Langkah 1.7

Susun kembali $y$ dan $\frac{- 5}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5}{x} y = 2 x^{2} - 1$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{- 5}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 5}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{- 5}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Langkah 2.2.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 2.2.4

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$e^{- 5 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 5 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 5})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 5}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x^{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{5}} (\frac{- 5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{5}}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (\frac{- 5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Langkah 3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} (\frac{5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{5}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 y}{x} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $\frac{5 y}{x}$ dengan $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x \cdot x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Langkah 3.2.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{5}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{1} x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Langkah 3.2.5.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{1 + 5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Langkah 3.2.5.2.2

Tambahkan $1$ dan $5$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = 2 \frac{1}{x^{5}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Langkah 3.3.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{5}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{5}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{2} x^{3}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Langkah 3.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{2} x^{3}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Langkah 3.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Langkah 3.3.4

Gabungkan $\frac{1}{x^{5}}$ dan $- 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{5}}$

Langkah 3.3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} y] = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} y] d x = \int \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x^{5}} y = \int \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{x^{5}} y = \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Langkah 7.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Langkah 7.3

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Pindahkan $x^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Langkah 7.3.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Langkah 7.3.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Langkah 7.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Gabungkan $x^{- 2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Langkah 7.5.2

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Langkah 7.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Langkah 7.7

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Pindahkan $x^{5}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Langkah 7.7.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Langkah 7.7.2.2

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{- 5} d x$

Langkah 7.8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 5}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Langkah 7.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.1.1

Gabungkan $x^{- 4}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Langkah 7.9.1.2

Pindahkan $x^{- 4}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Langkah 7.9.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{x^{5}} y = \frac{- 1}{x^{2}} - - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Langkah 7.9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} - - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Langkah 7.9.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} + 1 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Langkah 7.9.3.3

Kalikan $\frac{1}{4 x^{4}}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Tambahkan $\frac{1}{x^{2}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Langkah 8.1.2

Kurangkan $\frac{1}{4 x^{4}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} = C$

Langkah 8.1.3

Kurangkan $C$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

Langkah 8.1.4

Gabungkan $\frac{1}{x^{5}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x^{5}} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

Langkah 8.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kurangkan $\frac{1}{x^{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y}{x^{5}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = - \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $\frac{1}{4 x^{4}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y}{x^{5}} - C = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}}$

Langkah 8.2.3

Tambahkan $C$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y}{x^{5}} = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Langkah 8.3

Kalikan kedua ruas dengan $x^{5}$ .

$\frac{y}{x^{5}} x^{5} = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x^{5}} x^{5} = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

Langkah 8.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Sederhanakan $(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{1}{x^{2}} x^{5} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Langkah 8.4.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$y = \frac{- 1}{x^{2}} x^{5} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Langkah 8.4.2.1.2.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{5}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x^{3}) + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Langkah 8.4.2.1.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x^{3}) + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Langkah 8.4.2.1.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Langkah 8.4.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.2.1

Faktorkan $x^{4}$ dari $4 x^{4}$ .

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} x^{5} + C x^{5}$

Langkah 8.4.2.1.2.2.2

Faktorkan $x^{4}$ dari $x^{5}$ .

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x) + C x^{5}$

Langkah 8.4.2.1.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x) + C x^{5}$

Langkah 8.4.2.1.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{4} x + C x^{5}$

Langkah 8.4.2.1.2.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x$ .

$y = - 1 x^{3} + \frac{x}{4} + C x^{5}$

Langkah 8.4.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x^{3}$ sebagai $- x^{3}$ .

$y = - x^{3} + \frac{x}{4} + C x^{5}$

Langkah 8.4.2.1.4

Pindahkan $\frac{x}{4}$ .

$y = - x^{3} + C x^{5} + \frac{x}{4}$

Langkah 8.4.2.1.5

Susun kembali $- x^{3}$ dan $C x^{5}$ .

$y = C x^{5} - x^{3} + \frac{x}{4}$