Kalkulus Contoh

$(\frac{1}{y}) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = \frac{1}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{1}{y}$ sebagai $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{- 1}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y^{- 2}$

Langkah 1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 y - \frac{x}{y^{2}})]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 y - \frac{x}{y^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

Langkah 2.4

Karena $3 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

Langkah 2.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$

Langkah 2.6

Karena $- \frac{1}{y^{2}}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{x}{y^{2}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.7

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 (\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.7.2

Kalikan $\frac{1}{y^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

Langkah 2.9

Kalikan $\frac{1}{y^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- \frac{1}{y^{2}}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $\frac{1}{y^{2}}$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $- \frac{1}{y^{2}}$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $\frac{1}{y}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $\frac{1}{y}$ untuk $M$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y}}$

Langkah 4.3.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$(\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}) y$

Langkah 4.3.3

Kalikan $- - \frac{1}{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} + 1 \frac{1}{y^{2}}) y$

Langkah 4.3.3.2

Kalikan $\frac{1}{y^{2}}$ dengan $1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) y$

Langkah 4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 + 1}{y^{2}} y$

Langkah 4.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2}{y^{2}} y$

Langkah 4.3.6

Substitusikan $\frac{1}{y}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{2}{y \cdot y} y$

Langkah 4.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{y \cdot y} y$

Langkah 4.3.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Langkah 5.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Langkah 5.4.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $\frac{1}{y} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$ dengan faktor integral $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} y^{2} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Langkah 6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Langkah 6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ dengan $y^{2}$ .

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Langkah 6.4

Terapkan sifat distributif.

$y d x + (- (3 y) - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$y d x + (- 3 y - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Langkah 6.6

Kalikan $- - \frac{x}{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y d x + (- 3 y + 1 \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Langkah 6.6.2

Kalikan $\frac{x}{y^{2}}$ dengan $1$ .

$y d x + (- 3 y + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Langkah 6.7

Terapkan sifat distributif.

$y d x + (- 3 y \cdot y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.8

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$y d x + (- 3 (y^{2} y) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.8.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y d x + (- 3 (y^{2} y^{1}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.8.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y d x + (- 3 y^{2 + 1} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.8.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.9

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.9.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y d x + (- 3 y^{3} + x) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = y x + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 3 y^{3} + x$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Langkah 11.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x = - 3 y^{3} + x$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x - x$

Langkah 12.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $- 3 y^{3} + x - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + 0$

Langkah 12.1.2.2

Tambahkan $- 3 y^{3}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$

Langkah 13

Temukan $- 3 y^{3}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 y^{3} d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 y^{3} d y$

Langkah 13.3

Karena $- 3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$g (y) = - 3 \int y^{3} d y$

Langkah 13.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Langkah 13.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Tulis kembali $- 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ sebagai $- 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Langkah 13.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.1

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{- 3}{4} y^{4} + C$

Langkah 13.5.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$g (y) = - \frac{3}{4} y^{4} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x - \frac{3}{4} y^{4} + C$

Langkah 15

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $y^{4}$ dan $\frac{3}{4}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{y^{4} \cdot 3}{4} + C$

Langkah 15.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y^{4}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{3 y^{4}}{4} + C$