Kalkulus Contoh

$\frac{2 d y}{d x} + y = 3$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $\frac{d y}{d x}$ .

$2 \frac{d y}{d x} + y = 3$

Langkah 1.2

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$

Langkah 1.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ dengan $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Langkah 1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = 1 d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = \int d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ . Kemudian $d u = - \frac{1}{2} d y$ sehingga $- 2 d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} - \frac{y}{2}]$

Langkah 2.2.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

Langkah 2.2.1.1.2.2

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{3}{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

Langkah 2.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.1

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- \frac{y}{2}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 2.2.1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Langkah 2.2.1.1.4

Kurangi $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

Langkah 2.2.2.2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d x$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d x$

Langkah 2.2.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d x$

Langkah 2.2.2.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d x$

Langkah 2.2.2.6

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{u}$ .

$\int \frac{- 2}{u} d u = \int d x$

Langkah 2.2.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int - \frac{2}{u} d u = \int d x$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{2}{u} d u = \int d x$

Langkah 2.2.4

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- (2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Langkah 2.2.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Langkah 2.2.6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- 2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

$- 2 \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.2.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.2.9

Susun kembali suku-suku.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Langkah 3.1.2.1.2

Bagilah $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)$ dengan $1$ .

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Langkah 3.1.2.2

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} + \frac{C}{- 2}$

Langkah 3.1.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$

Langkah 3.2

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |)} = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} = | \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ .

$| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Langkah 3.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$\frac{3}{2} - \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Langkah 3.4.3

Kurangkan $\frac{3}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2}$

Langkah 3.4.4

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Langkah 3.4.5

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1.1

Sederhanakan $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{y}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Langkah 3.4.5.1.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Langkah 3.4.5.1.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Langkah 3.4.5.1.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- - y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Langkah 3.4.5.1.1.2

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Langkah 3.4.5.1.1.2.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Langkah 3.4.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.2.1

Sederhanakan $- 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.2.1.1

Untuk menuliskan $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = - 2 ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

Langkah 3.4.5.2.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.2.1.2.1

Gabungkan $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = - 2 (\frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

Langkah 3.4.5.2.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - 2 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Langkah 3.4.5.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.2.1.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$y = 2 (- 1) \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Langkah 3.4.5.2.1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 2 \cdot - 1 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Langkah 3.4.5.2.1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3)$

Langkah 3.4.5.2.1.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ .

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - 3)$

Langkah 3.4.5.2.1.4

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.2.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}})) - - 3$

Langkah 3.4.5.2.1.4.2

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.2.1.4.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - - 3$

Langkah 3.4.5.2.1.4.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) + 3$

Langkah 3.4.6

Susun kembali $- \frac{x}{2}$ dan $- \frac{C}{2}$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{2} - \frac{x}{2}}) + 3$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - 2 (\pm e^{C - \frac{x}{2}}) + 3$

Langkah 4.2

Susun kembali suku-suku.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} + C}) + 3$

Langkah 4.3

Tulis kembali $e^{- \frac{x}{2} + C}$ sebagai $e^{- \frac{x}{2}} e^{C}$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2}} e^{C}) + 3$

Langkah 4.4

Susun kembali $e^{- \frac{x}{2}}$ dan $e^{C}$ .

$y = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{x}{2}}) + 3$

Langkah 4.5

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = - 2 (C e^{- \frac{x}{2}}) + 3$