Kalkulus Contoh

$x y^{4} d x + (y^{2} + 2) e^{x} d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $x y^{4} d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(y^{2} + 2) e^{x} d y = - x y^{4} d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{x} y^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{x} y^{4}} ((y^{2} + 2) e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} y^{4}$ .

$\frac{1}{e^{x} (y^{4})} ((y^{2} + 2) e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $(y^{2} + 2) e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} (y^{4})} (e^{x} (y^{2} + 2)) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Langkah 3.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{x} y^{4}} (e^{x} (y^{2} + 2)) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Langkah 3.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{4}} (y^{2} + 2) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $\frac{1}{y^{4}}$ dengan $y^{2} + 2$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = - \frac{1}{e^{x} y^{4}} (x y^{4}) d x$

Langkah 3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{e^{x} y^{4}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{e^{x} y^{4}} (x y^{4}) d x$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $y^{4}$ dari $e^{x} y^{4}$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (x y^{4}) d x$

Langkah 3.4.3

Faktorkan $y^{4}$ dari $x y^{4}$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (y^{4} x) d x$

Langkah 3.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (y^{4} x) d x$

Langkah 3.4.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{e^{x}} x d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $\frac{- 1}{e^{x}}$ dan $x$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- x}{e^{x}} d x$

Langkah 3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Pindahkan $y^{4}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int (y^{2} + 2) {(y^{4})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{2} + 2) y^{4 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.1.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\int (y^{2} + 2) y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.2

Kalikan $(y^{2} + 2) y^{- 4}$ .

$\int y^{2} y^{- 4} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $y^{- 4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int y^{2 - 4} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.3.2

Kurangi $4$ dengan $2$ .

$\int y^{- 2} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y^{- 2} d y + \int 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + \int 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.6

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 \int y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 4}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.8.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.8.1.1

Gabungkan $y^{- 3}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.8.1.2

Pindahkan $y^{- 3}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.8.2

Sederhanakan.

$- \frac{1}{y} + 2 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.8.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{y} - 2 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.8.3.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{- 2}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.2.8.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Tiadakan eksponen dari $e^{x}$ dan pindahkan dari penyebut.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{x \cdot - 1} d x$

Langkah 4.3.2.2.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Langkah 4.3.2.2.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{- x} d x$

Langkah 4.3.3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Langkah 4.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Langkah 4.3.5.2

Kalikan $\int e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Langkah 4.3.6

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 4.3.6.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.3.6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 4.3.6.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 4.3.6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Langkah 4.3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Langkah 4.3.8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{4}))$

Langkah 4.3.9

Tulis kembali $- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{4}))$ sebagai $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{4}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{4}$

Langkah 4.3.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{4}$

Langkah 4.3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.11.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{4}$

Langkah 4.3.11.2

Kalikan $- (- x e^{- x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.11.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{4}$

Langkah 4.3.11.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} - - e^{- x} + C_{4}$

Langkah 4.3.11.3

Kalikan $- - e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.11.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C_{4}$

Langkah 4.3.11.3.2

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} + e^{- x} + C_{4}$

Langkah 4.3.12

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = e^{- x} x + e^{- x} + C_{4}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} = e^{- x} x + e^{- x} + K$