Kalkulus Contoh

$(2 x y + \sin (x)) d x + (x^{2} + \cos (y)) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x y + \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + \sin (x)]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y + \sin (x)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [\sin (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $\sin (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\sin (x)$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{2} + \cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + \cos (y)]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + \cos (y)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Langkah 2.4

Karena $\cos (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\cos (y)$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Langkah 2.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$2 x = 2 x$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + \cos (y) d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = x^{2} + \cos (y)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int x^{2} d y + \int \cos (y) d y$

Langkah 5.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x^{2} y + C + \int \cos (y) d y$

Langkah 5.3

Integral dari $\cos (y)$ terhadap $y$ adalah $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + C + \sin (y) + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (y) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (y) + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y + \sin (x)$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + \sin (y) + g (x)] = 2 x y + \sin (x)$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y + \sin (y) + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + \sin (x)$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + \sin (x)$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + \sin (x)$

Langkah 8.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + \sin (x)$

Langkah 8.4

Karena $\sin (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\sin (y)$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 y x + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + \sin (x)$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 x y + \sin (x)$

Langkah 8.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Tambahkan $2 y x$ dan $0$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 x y + \sin (x)$

Langkah 8.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 x y + \sin (x)$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + \sin (x) - 2 x y$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x y + \sin (x) - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $2 x y$ dengan $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + \sin (x)$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $\sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = \sin (x)$

Langkah 10

Temukan $\sin (x)$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \sin (x) d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \sin (x) d x$

Langkah 10.3

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$g (x) = - \cos (x) + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x^{2} y + \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (y) - \cos (x) + C$