Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = 10 t + 9 t^{2}$ , $y (1) = 2$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (10 t + 9 t^{2}) d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 10 t + 9 t^{2} d t$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 10 t + 9 t^{2} d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int 10 t d t + \int 9 t^{2} d t$

Langkah 2.3.2

Karena $10$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $10$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 10 \int t d t + \int 9 t^{2} d t$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 9 t^{2} d t$

Langkah 2.3.4

Karena $9$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 9 \int t^{2} d t$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{2}$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 9 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Sederhanakan.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2}) t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1

Gabungkan $10$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{10}{2} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{5}{1} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2.2.4

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.3

Gabungkan $9$ dan $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{9}{3} t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.4.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3} t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3}{1} t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + 3 t^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.7

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = 3 t^{3} + 5 t^{2} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $t$ dan $2$ untuk $y$ padda $y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$ .

$2 = 3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$ .

$3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

Langkah 4.2

Sederhanakan $3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$3 \cdot 1 + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

Langkah 4.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$3 + 5 \cdot 1 + K = 2$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$3 + 5 + K = 2$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $3$ dan $5$ .

$8 + K = 2$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 2 - 8$

Langkah 4.3.2

Kurangi $8$ dengan $2$ .

$K = - 6$

Langkah 5

Substitusikan $- 6$ untuk $K$ dalam $y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 6$ untuk $K$ .

$y = 3 t^{3} + 5 t^{2} - 6$