Kalkulus Contoh

$(2 x + y^{3}) d x + (3 x y^{2} - e^{2 y}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x + y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y^{3}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + y^{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 1.3

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 y^{2}$

Langkah 1.5

Tambahkan $0$ dan $3 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 3 x y^{2} - e^{2 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2} - e^{2 y}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x y^{2} - e^{2 y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x y^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- e^{2 y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{2 y}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $3 y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3 y^{2}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $3 y^{2}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} = 3 y^{2}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$3 y^{2} = 3 y^{2}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x + y^{3} d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = 2 x + y^{3}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int y^{3} d x$

Langkah 5.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int y^{3} d x$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{3} d x$

Langkah 5.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{3} x + C$

Langkah 5.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + y^{3} x + g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Langkah 8.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{3} x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Langkah 8.2.2

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{3} x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$0 + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Langkah 8.3.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$0 + 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Tambahkan $0$ dan $3 x y^{2}$ .

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Langkah 8.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $3 y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y} - 3 y^{2} x$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 x y^{2} - e^{2 y} - 3 y^{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $3 x y^{2}$ dan $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - e^{2 y} - 3 y^{2} x$

Langkah 9.1.2.2

Kurangi $3 y^{2} x$ dengan $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - e^{2 y}$

Langkah 9.1.2.3

Kurangi $e^{2 y}$ dengan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - e^{2 y}$

Langkah 10

Temukan $- e^{2 y}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - e^{2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{2 y} d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - e^{2 y} d y$

Langkah 10.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - \int e^{2 y} d y$

Langkah 10.4

Biarkan $u = 2 y$ . Kemudian $d u = 2 d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Biarkan $u = 2 y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1.1

Diferensialkan $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 10.4.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 10.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 10.4.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 10.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$g (y) = - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 10.5

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 10.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Langkah 10.7

Hilangkan tanda kurung.

$g (y) = - \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Langkah 10.8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Langkah 10.9

Sederhanakan.

$g (y) = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

Langkah 10.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 y$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} e^{2 y} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x - \frac{1}{2} e^{2 y} + C$

Langkah 12

Gabungkan $e^{2 y}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x - \frac{e^{2 y}}{2} + C$