Kalkulus Contoh

$(2 x + 4 y - 1) d x + (4 x + 6 y + 1) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x + 4 y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + 4 y - 1]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 4 y - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.2.2

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4 y$ terhadap $y$ adalah $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 + 0$

Langkah 1.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tambahkan $0$ dan $4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + 0$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 4 x + 6 y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x + 6 y + 1]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x + 6 y + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $6 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.4.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 + 0 + 0$

Langkah 2.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 + 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $4$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $4$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 = 4$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$4 = 4$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x + 4 y - 1 d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = 2 x + 4 y - 1$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int 4 y d x + \int - 1 d x$

Langkah 5.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int 4 y d x + \int - 1 d x$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 y d x + \int - 1 d x$

Langkah 5.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 y x + C + \int - 1 d x$

Langkah 5.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 y x + C + \int - 1 d x$

Langkah 5.6

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 y x + C - x + C$

Langkah 5.7

Sederhanakan.

$f (x, y) = x^{2} + 4 y x - x + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + 4 y x - x + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x + 6 y + 1$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + 4 y x - x + g (y)] = 4 x + 6 y + 1$

Langkah 8.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 4 y x - x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [4 y x] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [4 y x] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 x + 6 y + 1$

Langkah 8.2.2

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [4 y x] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 x + 6 y + 1$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [4 y x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $4 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4 y x$ terhadap $y$ adalah $4 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 4 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 x + 6 y + 1$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 4 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 x + 6 y + 1$

Langkah 8.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$0 + 4 x + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 x + 6 y + 1$

Langkah 8.4

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + 4 x + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 x + 6 y + 1$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 4 x + 0 + \frac{d g}{d y} = 4 x + 6 y + 1$

Langkah 8.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1.1

Tambahkan $0$ dan $4 x$ .

$4 x + 0 + \frac{d g}{d y} = 4 x + 6 y + 1$

Langkah 8.6.1.2

Tambahkan $4 x$ dan $0$ .

$4 x + \frac{d g}{d y} = 4 x + 6 y + 1$

Langkah 8.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 4 x = 4 x + 6 y + 1$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $4 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 4 x + 6 y + 1 - 4 x$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $4 x + 6 y + 1 - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $4 x$ dengan $4 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 y + 1 + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $6 y + 1$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 y + 1$

Langkah 10

Temukan $6 y + 1$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 6 y + 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 6 y + 1 d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 6 y + 1 d y$

Langkah 10.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (y) = \int 6 y d y + \int d y$

Langkah 10.4

Karena $6$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$g (y) = 6 \int y d y + \int d y$

Langkah 10.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 6 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int d y$

Langkah 10.6

Terapkan aturan konstanta.

$g (y) = 6 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + y + C$

Langkah 10.7

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$g (y) = 6 (\frac{y^{2}}{2} + C) + y + C$

Langkah 10.8

Sederhanakan.

$g (y) = 3 y^{2} + y + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = x^{2} + 4 y x - x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + 4 y x - x + 3 y^{2} + y + C$