Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x y$ , $y (0) = 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y)$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Langkah 3.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ sebagai $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $1$ untuk $y$ padda $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$1 = C e^{\frac{0^{2}}{2}}$

Langkah 6

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C e^{\frac{0^{2}}{2}} = 1$ .

$C e^{\frac{0^{2}}{2}} = 1$

Langkah 6.2

Sederhanakan $C e^{\frac{0^{2}}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$C e^{\frac{0}{2}} = 1$

Langkah 6.2.2

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$C e^{0} = 1$

Langkah 6.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$C \cdot 1 = 1$

Langkah 6.2.4

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$C = 1$

Langkah 7

Substitusikan $1$ untuk $C$ dalam $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $1$ untuk $C$ .

$y = 1 e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Langkah 7.2

Kalikan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ dengan $1$ .

$y = e^{\frac{x^{2}}{2}}$