Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 16 x$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int 2 x d x}$

Langkah 1.2

Integralkan $2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{2 \int x d x}$

Langkah 1.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{1 x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{x^{2}}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (16 x)$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (16 x)$

Langkah 2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 16 e^{x^{2}} x$

Langkah 2.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 16 e^{x^{2}} x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 16 x e^{x^{2}}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 16 x e^{x^{2}}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 16 x e^{x^{2}} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{x^{2}} y = \int 16 x e^{x^{2}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $16$ keluar dari integral.

$e^{x^{2}} y = 16 \int x e^{x^{2}} d x$

Langkah 6.2

Biarkan $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Biarkan $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Diferensialkan $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Langkah 6.2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 6.2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 6.2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 6.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Langkah 6.2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Langkah 6.2.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 16 \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 6.3

Terapkan aturan konstanta.

$e^{x^{2}} y = 16 (\frac{1}{2} u_{2} + C)$

Langkah 6.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Tulis kembali $16 (\frac{1}{2} u_{2} + C)$ sebagai $16 (\frac{1}{2}) u_{2} + C$ .

$e^{x^{2}} y = 16 (\frac{1}{2}) u_{2} + C$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Gabungkan $16$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{16}{2} u_{2} + C$

Langkah 6.4.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot 8}{2} u_{2} + C$

Langkah 6.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} u_{2} + C$

Langkah 6.4.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} u_{2} + C$

Langkah 6.4.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{x^{2}} y = \frac{8}{1} u_{2} + C$

Langkah 6.4.2.2.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$e^{x^{2}} y = 8 u_{2} + C$

Langkah 6.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = 8 e^{x^{2}} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{x^{2}} y = 8 e^{x^{2}} + C$ dengan $e^{x^{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{x^{2}} y = 8 e^{x^{2}} + C$ dengan $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{8 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{8 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{8 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{8 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 7.3.1.2

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$y = 8 + \frac{C}{e^{x^{2}}}$