Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $1 + y$ .

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = (1 + y) \frac{x}{1 + y}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = (1 + y) \frac{x}{1 + y}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(1 + y) d y = x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int 1 + y d y = \int x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d y + \int y d y = \int x d x$

Langkah 2.2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} + \int y d y = \int x d x$

Langkah 2.2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int x d x$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$y + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x$

Langkah 2.2.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x d x$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{2}}{2} + K$

Langkah 3.3

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kurangkan $\frac{x^{2}}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} = K$

Langkah 3.3.2

Kurangkan $K$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Langkah 3.4

Kalikan dengan penyebut sekutu terkecil $2$ , kemudian sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{2}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} + 2 y - x^{2} + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} + 2 y - x^{2} - 2 K = 0$

Langkah 3.4.3

Pindahkan $2 y$ .

$y^{2} - x^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Langkah 3.4.4

Susun kembali $y^{2}$ dan $- x^{2}$ .

$- x^{2} + y^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Langkah 3.5

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.6

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 2$ , dan $c = - x^{2} - 2 K$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{2}) - 4 (- 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} - 4 (- 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.6

Faktorkan $4$ dari $4 + 4 x^{2} + 8 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.6.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 8 K}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.6.2

Faktorkan $4$ dari $8 K$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.6.3

Faktorkan $4$ dari $4 \cdot 1 + 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.6.4

Faktorkan $4$ dari $4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.7

Tulis kembali $4 (1 + x^{2} + 2 K)$ sebagai $2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.7.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.7.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{2} + 2 K}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.9

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2}$

Langkah 3.7.3

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2}$ .

$y = - 1 \pm \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.8

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + K}$