Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = e^{4 x}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y^{3} d y = e^{4 x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y^{3} d y = \int e^{4 x} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{4 x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = 4 x$ . Kemudian $d u = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = 4 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 2.3.1.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.1.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Langkah 2.3.4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} (e^{u} + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{u} + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{4 x} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \frac{1}{4} e^{4 x} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $e^{4 x}$ .

$y^{4} = 4 (\frac{e^{4 x}}{4} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{4} = e^{4 x} + 4 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Langkah 3.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Langkah 3.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Langkah 3.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$