Kalkulus Contoh

$4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

Langkah 1

Biarkan $v = \frac{d y}{d x}$ . Kemudian $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Substitusikan $v$ untuk $\frac{d y}{d x}$ dan $\frac{d v}{d x}$ untuk $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ untuk mendapatkan persamaan diferensial dengan variabel dependen $v$ dan variabel independen $x$ .

$4 \frac{d v}{d x} + v = 0$

Langkah 2

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Selesaikan $\frac{d v}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kurangkan $v$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 \frac{d v}{d x} = - v$

Langkah 2.1.2

Bagi setiap suku pada $4 \frac{d v}{d x} = - v$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Bagilah setiap suku di $4 \frac{d v}{d x} = - v$ dengan $4$ .

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

Langkah 2.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d v}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{- v}{4}$

Langkah 2.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{v}{4}$

Langkah 2.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} (- \frac{v}{4})$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Langkah 2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{v}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Langkah 2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Langkah 2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{4}$

Langkah 2.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{v} d v = - \frac{1}{4} d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{v} d v = \int - \frac{1}{4} d x$

Langkah 3.2

Integral dari $\frac{1}{v}$ terhadap $v$ adalah $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int - \frac{1}{4} d x$

Langkah 3.3

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| v |) + C_{1} = - \frac{1}{4} x + C_{2}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$

Langkah 4

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menyelesaikan $v$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}} = | v |$

Langkah 4.3

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$ .

$| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

Langkah 4.3.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{4}$ .

$| v | = e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

Langkah 4.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

Langkah 5

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$ sebagai $e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$

Langkah 5.2

Susun kembali $e^{- \frac{x}{4}}$ dan $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 5.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$v = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 7

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Langkah 8

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Langkah 8.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Langkah 8.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $C_{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $C_{4}$ keluar dari integral.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{- \frac{x}{4}} d x$

Langkah 8.3.2

Biarkan $u = - \frac{x}{4}$ . Kemudian $d u = - \frac{1}{4} d x$ sehingga $- 4 d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Biarkan $u = - \frac{x}{4}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.1

Diferensialkan $- \frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]$

Langkah 8.3.2.1.2

Karena $- \frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{x}{4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 1$

Langkah 8.3.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{4}$

Langkah 8.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{4}} d u$

Langkah 8.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Langkah 8.3.3.2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} (1 \cdot 4) d u$

Langkah 8.3.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \cdot 4 d u$

Langkah 8.3.3.4

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - 4 e^{u} d u$

Langkah 8.3.4

Karena $- 4$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 \int e^{u} d u)$

Langkah 8.3.5

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 (e^{u} + C_{6}))$

Langkah 8.3.6

Sederhanakan.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{u}) + C_{7}$

Langkah 8.3.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- \frac{x}{4}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{x}{4}}) + C_{7}$

Langkah 8.3.8

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{1}{4} x}) + C_{7}$

Langkah 8.3.9

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{5} = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C_{4} + C_{7}$

Langkah 8.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $D$ .

$y = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C + D$