Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

Langkah 1.1.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x} (1 + y)$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (\frac{1 + x}{x} (1 + y))$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $1 + y$ dari $\frac{1 + x}{x} (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{1 + x}{x})$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{1 + x}{x})$

Langkah 1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 1 + y$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 1 + y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Langkah 2.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Langkah 2.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

Langkah 2.3.5

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

Langkah 2.3.7

Susun kembali suku-suku.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = x + \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 1 + y |) - \ln (| x |) = x + C$

Langkah 3.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |}) = x + C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |})} = e^{x + C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |}) = x + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{| 1 + y |}{| x |}$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| 1 + y |}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{| 1 + y |}{| x |} = e^{x + C}$

Langkah 3.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $| x |$ .

$\frac{| 1 + y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| 1 + y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Langkah 3.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| 1 + y | = e^{x + C} | x |$

Langkah 3.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x + C} | x |$ .

$| 1 + y | = | x | e^{x + C}$

Langkah 3.5.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm | x | e^{x + C}$

Langkah 3.5.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm | x | e^{x + C}$ .

$1 + y = \pm e^{x + C} | x |$

Langkah 3.5.4.4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \pm e^{x + C} | x | - 1$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{x + C}$ sebagai $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x} e^{C} | x | - 1$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{x}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x} | x | - 1$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{x} | x | - 1$