Kalkulus Contoh

$(2 x y^{3} + 1) d x + (3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x y^{3} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3} + 1]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y^{3} + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y^{3}$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + 0$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tambahkan $6 x y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2}$

Langkah 1.5.2

Susun kembali faktor-faktor dari $6 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}]$

Langkah 2.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $3 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Langkah 2.4.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $- \frac{1}{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{y}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $6 y^{2} x$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $6 y^{2} x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $6 y^{2} x$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y^{2} x = 6 y^{2} x$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$6 y^{2} x = 6 y^{2} x$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y^{3} + 1 d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = 2 x y^{3} + 1$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 2 x y^{3} d x + \int d x$

Langkah 5.2

Karena $2 y^{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2 y^{3}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 2 y^{3} \int x d x + \int d x$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Langkah 5.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Langkah 5.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2} + x + g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} x^{2} + x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{3} x^{2}$ terhadap $y$ adalah $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Langkah 8.3.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Langkah 8.4

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Langkah 8.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Tambahkan $3 x^{2} y^{2}$ dan $0$ .

$3 x^{2} y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Langkah 8.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}$

Langkah 9.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangkan $3 x^{2} y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y} - 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 9.1.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y} - 3 x^{2} y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.2.1

Kurangi $3 x^{2} y^{2}$ dengan $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y} + 0$

Langkah 9.1.2.2.2

Tambahkan $- \frac{1}{y}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$

Langkah 10

Temukan $- \frac{1}{y}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y} d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{y} d y$

Langkah 10.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 10.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$g (y) = - (\ln (| y |) + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan.

$g (y) = - \ln (| y |) + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x - \ln (| y |) + C$