Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x \cos (8 x^{2})$ , $y (0) = 8$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = x \cos (8 x^{2}) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = 8 x^{2}$ . Kemudian $d u = 16 x d x$ sehingga $\frac{1}{16} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = 8 x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $8 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.2

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$8 (2 x)$

Langkah 2.3.1.1.4

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$16 x$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{16} d u$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{16}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{16} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{16}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{16}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{16} (\sin (u) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (u) + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $8 x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $8$ untuk $y$ padda $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ .

$8 = \frac{1}{16} \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0) + K = 8$

Langkah 4.2.1.1.2

Kalikan $8$ dengan $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (0) + K = 8$

Langkah 4.2.1.1.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot 0 + K = 8$

Langkah 4.2.1.1.4

Kalikan $\frac{1}{16}$ dengan $0$ .

$0 + K = 8$

Langkah 4.2.1.2

Tambahkan $0$ dan $K$ .

$K = 8$

Langkah 5

Substitusikan $8$ untuk $K$ dalam $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $8$ untuk $K$ .

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + 8$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{1}{16}$ dan $\sin (8 x^{2})$ .

$y = \frac{\sin (8 x^{2})}{16} + 8$