Kalkulus Contoh

$(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y^{4} + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4} + 2 y]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{4} + 2 y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + \frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $y^{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y^{3}$ terhadap $x$ adalah $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $y^{3}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 2.4

Karena $2 y^{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{4}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 2.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \cdot 1$

Langkah 2.5.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4$

Langkah 2.6

Tambahkan $y^{3}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} - 4$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $4 y^{3} + 2$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $y^{3} - 4$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $y^{3} - 4$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y^{3} - 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $4 y^{3} + 2$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $y^{4} + 2 y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $y^{4} + 2 y$ untuk $M$ .

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{y^{4} + 2 y}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3}) - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

Langkah 4.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 2}{y^{4} + 2 y}$

Langkah 4.3.2.4

Kurangi $4 y^{3}$ dengan $y^{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3} - 4 - 2}{y^{4} + 2 y}$

Langkah 4.3.2.5

Kurangi $2$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 3 y^{3} - 6}{y^{4} + 2 y}$

Langkah 4.3.2.6

Faktorkan $3$ dari $- 3 y^{3} - 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.6.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 y^{3}$ .

$\frac{3 (- y^{3}) - 6}{y^{4} + 2 y}$

Langkah 4.3.2.6.2

Faktorkan $3$ dari $- 6$ .

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (- 2)}{y^{4} + 2 y}$

Langkah 4.3.2.6.3

Faktorkan $3$ dari $3 (- y^{3}) + 3 (- 2)$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y^{4} + 2 y}$

Langkah 4.3.3

Faktorkan $y$ dari $y^{4} + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $y^{4}$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + 2 y}$

Langkah 4.3.3.2

Faktorkan $y$ dari $2 y$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}$

Langkah 4.3.3.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

Langkah 4.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $- y^{3} - 2$ dan $y^{3} + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Faktorkan $- 1$ dari $- y^{3}$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (2))}{y (y^{3} + 2)}$

Langkah 4.3.4.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (y^{3}) - 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Langkah 4.3.4.4

Tulis kembali $- (y^{3} + 2)$ sebagai $- 1 (y^{3} + 2)$ .

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Langkah 4.3.4.5

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Langkah 4.3.4.6

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Langkah 4.3.5

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Langkah 4.3.6

Substitusikan $y^{4} + 2 y$ untuk $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Langkah 5.2

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 5.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- 3 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 3$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Langkah 5.6.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $y^{4} + 2 y$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{4} + 2 y) \frac{1}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $y^{4} + 2 y$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{4} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Langkah 6.3

Faktorkan $y$ dari $y^{4} + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Faktorkan $y$ dari $y^{4}$ .

$\frac{y \cdot y^{3} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Langkah 6.3.2

Faktorkan $y$ dari $2 y$ .

$\frac{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Langkah 6.3.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ .

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $y$ dari $y^{3}$ .

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Langkah 6.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Langkah 6.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 6.6

Kalikan $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} x + C$

Langkah 8.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan $\frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ dan $x$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$

Langkah 8.2.2

Tulis kembali $\frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$ sebagai $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ adalah $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ di mana $f (y) = y^{3} x + 2 x$ dan $g (y) = y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d}{d y} [y^{3} x + 2 x] - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} x + 2 x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{y^{2} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.3

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{3} x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{y^{2} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.5

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.7

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{y^{2} (3 \cdot x y^{2} + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.8

Tambahkan $3 x y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{y^{2} (3 x y^{2}) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.9

Kalikan $y^{2}$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.9.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y^{2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.9.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{y^{2 + 2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.9.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{y^{4} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.10

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y^{4}$ .

$\frac{3 \cdot y^{4} x - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.11

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.12

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.12.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.12.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.13

Faktorkan $y$ dari $3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.13.1

Faktorkan $y$ dari $3 y^{4} x$ .

$\frac{y (3 y^{3} x) - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.13.2

Faktorkan $y$ dari $- 2 (y^{3} x + 2 x) y$ .

$\frac{y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.13.3

Faktorkan $y$ dari $y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))$ .

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.14

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.14.1

Faktorkan $y$ dari $y^{4}$ .

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.3.14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x) - 2 (2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{3 y^{3} x - 2 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.5.2.2

Kurangi $2 y^{3} x$ dengan $3 y^{3} x$ .

$\frac{1 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.5.2.3

Kalikan $y^{3}$ dengan $1$ .

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.5.2.4

Untuk menuliskan $\frac{d g}{d y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.5.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{y^{3} x - 4 x + \frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 11.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Karena pernyataan pada setiap sisi persamaan mempunyai penyebut yang sama, maka pembilangnya harus sama.

$y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$

Langkah 12.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Kurangkan $y^{3} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x$

Langkah 12.1.2.2

Tambahkan $4 x$ ke kedua sisi persamaan.

$y^{3} \frac{d g}{d y} = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

Langkah 12.1.2.3

Gabungkan suku balikan dalam $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $x y^{3}$ dan $- y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = y^{3} x + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

Langkah 12.1.2.3.2

Kurangi $y^{3} x$ dengan $y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 0 + 4 x$

Langkah 12.1.2.3.3

Tambahkan $2 y^{4} - 4 x$ dan $0$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 4 x$

Langkah 12.1.2.3.4

Tambahkan $- 4 x$ dan $4 x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} + 0$

Langkah 12.1.2.3.5

Tambahkan $2 y^{4}$ dan $0$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$

Langkah 12.1.3

Bagi setiap suku pada $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ dengan $y^{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.1

Bagilah setiap suku di $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ dengan $y^{3}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Langkah 12.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Langkah 12.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d g}{d y}$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Langkah 12.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $y^{4}$ dan $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.3.1.1

Faktorkan $y^{3}$ dari $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3}}$

Langkah 12.1.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.3.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

Langkah 12.1.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

Langkah 12.1.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y}{1}$

Langkah 12.1.3.3.1.2.4

Bagilah $2 y$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Langkah 13

Temukan $2 y$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Langkah 13.3

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (y) = 2 \int y d y$

Langkah 13.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 13.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Langkah 13.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

Langkah 15

Sederhanakan $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Faktorkan $x$ dari $y^{3} x + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Faktorkan $x$ dari $y^{3} x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

Langkah 15.1.2

Faktorkan $x$ dari $2 x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2}{y^{2}} + y^{2} + C$

Langkah 15.1.3

Faktorkan $x$ dari $x y^{3} + x \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + y^{2} + C$

Langkah 15.2

Untuk menuliskan $y^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Langkah 15.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2) + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Langkah 15.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2 + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Langkah 15.4.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 \cdot x + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Langkah 15.4.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.3.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{2 + 2}}{y^{2}} + C$

Langkah 15.4.3.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{4}}{y^{2}} + C$