Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = y \sin (x)$ di mana $f (2 π) = 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y$ dari $y \sin (x)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\sin (x)))$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \sin (x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin (x) d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Langkah 2.3

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - \cos (x) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \cos (x) + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = - \cos (x) + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \cos (x) + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{- \cos (x) + C}$ .

$| y | = e^{- \cos (x) + C}$

Langkah 3.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \cos (x) + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{- \cos (x) + C}$ sebagai $e^{- \cos (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \cos (x)} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{- \cos (x)}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \cos (x)}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{- \cos (x)}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $2 π$ untuk $x$ dan $1$ untuk $y$ padda $y = C e^{- \cos (x)}$ .

$1 = C e^{- \cos (2 π)}$

Langkah 6

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C e^{- \cos (2 π)} = 1$ .

$C e^{- \cos (2 π)} = 1$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$C e^{- \cos (0)} = 1$

Langkah 6.2.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$C e^{- 1 \cdot 1} = 1$

Langkah 6.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$C e^{- 1} = 1$

Langkah 6.3

Bagi setiap suku pada $C e^{- 1} = 1$ dengan $e^{- 1}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagilah setiap suku di $C e^{- 1} = 1$ dengan $e^{- 1}$ .

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Langkah 6.3.2.1.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$C = \frac{1}{e^{- 1}}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Pindahkan $e^{- 1}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = e$

Langkah 7

Substitusikan $e$ untuk $C$ dalam $y = C e^{- \cos (x)}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $e$ untuk $C$ .

$y = e e^{- \cos (x)}$

Langkah 7.2

Kalikan $e$ dengan $e^{- \cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Naikkan $e$ menjadi pangkat $1$ .

$y = e^{1} e^{- \cos (x)}$

Langkah 7.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = e^{1 - \cos (x)}$