Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2$

Langkah 1

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2$

Langkah 2

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 3

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 4

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2$

Langkah 5

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 - V$

Langkah 5.1.1.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $V + 2 - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1.2.1

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + 2$

Langkah 5.1.1.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2$

Langkah 5.1.1.2

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = 2$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = 2$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

Langkah 5.1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

Langkah 5.1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Langkah 5.1.2

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d V = \frac{2}{x} d x$

Langkah 5.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d V = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 5.2.2

Terapkan aturan konstanta.

$V + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 5.2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$V + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$V + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 5.2.3.3

Sederhanakan.

$V + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 5.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$V = 2 \ln (| x |) + C$

Langkah 6

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$

Langkah 7

Selesaikan $\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

Langkah 7.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (2 \ln (| x |) + C) x$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Sederhanakan $(2 \ln (| x |) + C) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$y = (\ln ({| x |}^{2}) + C) x$

Langkah 7.2.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$y = (\ln (x^{2}) + C) x$

Langkah 7.2.2.1.2

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \ln (x^{2}) x + C x$

Langkah 7.2.2.1.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.2.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (x^{2}) x + C x$ .

$y = x \ln (x^{2}) + C x$

Langkah 7.2.2.1.2.2.2

Susun kembali $x \ln (x^{2})$ dan $C x$ .

$y = C x + x \ln (x^{2})$