Kalkulus Contoh

$(2 x + x^{3} + 3 y) d x + (3 x + 2 y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x + x^{3} + 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + x^{3} + 3 y]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + x^{3} + 3 y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Langkah 1.2.2

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Langkah 1.2.3

Karena $x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{3}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3 \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3$

Langkah 1.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 3 x + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x + 2 y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 2 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $3$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 = 3$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$3 = 3$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x + 2 y d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = 3 x + 2 y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 3 x d y + \int 2 y d y$

Langkah 5.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 3 x y + C + \int 2 y d y$

Langkah 5.3

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 3 x y + C + 2 \int y d y$

Langkah 5.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 x y + C + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$f (x, y) = 3 x y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = 3 x y + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = 3 x y + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = 3 x y + 1 y^{2} + C$

Langkah 5.6.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y + y^{2} + g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x y + y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $3 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x y$ terhadap $x$ adalah $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Langkah 8.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Langkah 8.4

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Langkah 8.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Tambahkan $3 y$ dan $0$ .

$3 y + \frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Langkah 8.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 3 y = 2 x + x^{3} + 3 y$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $3 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y - 3 y$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x + x^{3} + 3 y - 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $3 y$ dengan $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $2 x + x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3}$

Langkah 10

Temukan $2 x + x^{3}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + x^{3} d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x + x^{3} d x$

Langkah 10.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (x) = \int 2 x d x + \int x^{3} d x$

Langkah 10.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (x) = 2 \int x d x + \int x^{3} d x$

Langkah 10.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x^{3} d x$

Langkah 10.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Langkah 10.7

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Langkah 10.8

Sederhanakan.

$g (x) = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = 3 x y + y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + C$