Kalkulus Contoh

$x y d y = (x^{2} + y^{2}) d x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $(x^{2} + y^{2}) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y d y - (x^{2} + y^{2}) d x = 0$

Langkah 1.2

Tulis kembali.

$- (x^{2} + y^{2}) d x + x y d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = - (x^{2} + y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} + y^{2})]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- (x^{2} + y^{2})$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Langkah 2.4

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Langkah 2.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

Langkah 2.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Langkah 3.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = y$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$- 2 y = y$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 2 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 5.2

Substitusikan $y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - y}{N}$

Langkah 5.3

Substitusikan $x y$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $x y$ untuk $N$ .

$\frac{- 2 y - y}{x y}$

Langkah 5.3.2

Kurangi $y$ dengan $- 2 y$ .

$\frac{- 3 y}{x y}$

Langkah 5.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 y}{x y}$

Langkah 5.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 3}{x}$

Langkah 5.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{x}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Langkah 6.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 6.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 6.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Langkah 6.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Sederhanakan $- 3 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $- 3$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Langkah 6.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Langkah 6.6.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $- (x^{2} + y^{2}) d x + x y d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- (x^{2} + y^{2})$ dengan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$(- x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $- x^{2} - y^{2}$ dengan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- x^{2} - y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Langkah 7.4

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Langkah 7.5

Faktorkan $- 1$ dari $- y^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - (y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Langkah 7.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{- (x^{2} + y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Langkah 7.7

Tulis kembali $- (x^{2} + y^{2})$ sebagai $- 1 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Langkah 7.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Langkah 7.9

Kalikan $x y$ dengan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Langkah 7.10

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.10.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Langkah 7.10.2

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Langkah 7.10.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Langkah 7.10.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 7.11

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{y}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{2}} d y$

Langkah 9

Integralkan $N (x, y) = \frac{y}{x^{2}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Karena $\frac{1}{x^{2}}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{1}{x^{2}}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int y d y$

Langkah 9.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 9.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2} \cdot 2} y^{2} + C$

Langkah 9.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot x^{2}} y^{2} + C$

Langkah 9.3.2.3

Kalikan $2$ dengan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 x^{2}} y^{2} + C$

Langkah 9.3.2.4

Gabungkan $\frac{1}{2 x^{2}}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + C$

Langkah 10

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $\frac{y^{2}}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.9

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.10

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.11

Gabungkan $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ dan $x^{- 3}$ .

$\frac{- 2 y^{2} x^{- 3}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.12

Pindahkan $x^{- 3}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.13

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.13.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.13.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- y^{2})}{2 (x^{3})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.3.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 12.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.1

Tambahkan $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} = 0$

Langkah 13.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + x^{2} + y^{2}}{x^{3}} = 0$

Langkah 13.1.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $- y^{2} + x^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.3.1

Tambahkan $- y^{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} + 0}{x^{3}} = 0$

Langkah 13.1.1.3.2

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2}}{x^{3}} = 0$

Langkah 13.1.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.4.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} = 0$

Langkah 13.1.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.4.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} = 0$

Langkah 13.1.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} = 0$

Langkah 13.1.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x} = 0$

Langkah 13.1.2

Kurangkan $\frac{1}{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

Langkah 14

Temukan $- \frac{1}{x}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 14.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 14.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

Langkah 14.5

Sederhanakan.

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} - \ln (| x |) + C$