Kalkulus Contoh

$(x y + y^{2}) d y = y^{2} d x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $y^{2} d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(x y + y^{2}) d y - y^{2} d x = 0$

Langkah 1.2

Tulis kembali.

$- y^{2} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = - y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

Langkah 2.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x y + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + y^{2}]$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y + y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.3.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = y$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$- 2 y = y$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 5.2

Substitusikan $- 2 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y - (- 2 y)}{M}$

Langkah 5.3

Substitusikan $- y^{2}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $- y^{2}$ untuk $M$ .

$\frac{y - (- 2 y)}{- y^{2}}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $y - (- 2 y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y^{1} - (- 2 y)}{- y^{2}}$

Langkah 5.3.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\frac{y \cdot 1 - (- 2 y)}{- y^{2}}$

Langkah 5.3.2.1.3

Faktorkan $y$ dari $- (- 2 y)$ .

$\frac{y \cdot 1 + y (- (- 2))}{- y^{2}}$

Langkah 5.3.2.1.4

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 1 + y (- (- 2))$ .

$\frac{y (1 - (- 2))}{- y^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{y (1 + 2)}{- y^{2}}$

Langkah 5.3.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{y \cdot 3}{- y^{2}}$

Langkah 5.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $y$ dan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 3$ .

$\frac{y (3)}{- y^{2}}$

Langkah 5.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $- y^{2}$ .

$\frac{y (3)}{y (- y)}$

Langkah 5.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \cdot 3}{y (- y)}$

Langkah 5.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{- y}$

Langkah 5.3.4

Substitusikan $- y^{2}$ untuk $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Langkah 6.2

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 6.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 6.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Langkah 6.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Sederhanakan $- 3 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 3$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Langkah 6.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Langkah 6.6.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $- y^{2} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- y^{2}$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- y^{2} \frac{1}{y^{3}} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Langkah 7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $- y^{2}$ .

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{3}} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Langkah 7.2.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{3}$ .

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Langkah 7.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Langkah 7.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $x y + y^{2}$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.4

Kalikan $x y + y^{2}$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x y + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.5

Faktorkan $y$ dari $x y + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y x + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.5.2

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y x + y \cdot y}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.5.3

Faktorkan $y$ dari $y x + y \cdot y$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Faktorkan $y$ dari $y^{3}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y \cdot y^{2}} d y = 0$

Langkah 7.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y \cdot y^{2}} d y = 0$

Langkah 7.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x + y}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{y} d x$

Langkah 9

Integralkan $M (x, y) = - \frac{1}{y}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = - \frac{1}{y} x + C$

Langkah 9.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

Langkah 10

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y} + g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{x}{y} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- \frac{x}{y}$ terhadap $y$ adalah $- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Langkah 12.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{y}$ sebagai $y^{- 1}$ .

$- x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Langkah 12.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Langkah 12.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Langkah 12.3.5

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x y^{- 2} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Langkah 12.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Langkah 12.5.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Langkah 12.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.1

Kurangkan $\frac{x + y}{y^{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x + y}{y^{2}} = 0$

Langkah 13.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + y)}{y^{2}} = 0$

Langkah 13.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - y}{y^{2}} = 0$

Langkah 13.1.1.4

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y}{y^{2}} = 0$

Langkah 13.1.1.5

Kurangi $y$ dengan $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y}{y^{2}} = 0$

Langkah 13.1.1.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.6.1

Hapus faktor persekutuan dari $y$ dan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.6.1.1

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Langkah 13.1.1.6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.6.1.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

Langkah 13.1.1.6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

Langkah 13.1.1.6.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

Langkah 13.1.1.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

Langkah 13.1.2

Tambahkan $\frac{1}{y}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Langkah 14

Temukan $\frac{1}{y}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 14.3

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + \ln (| y |) + C$