Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 2 \sec^{2} (x) (y + 3)$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} (2 \sec^{2} (x) (y + 3))$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y + 3} (\sec^{2} (x) (y + 3))$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y + 3} (\sec^{2} (x) (y + 3))$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Faktorkan $y + 3$ dari $\sec^{2} (x) (y + 3)$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y + 3} ((y + 3) \sec^{2} (x))$

Langkah 1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y + 3} ((y + 3) \sec^{2} (x))$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 \sec^{2} (x)$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y + 3} d y = 2 \sec^{2} (x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int 2 \sec^{2} (x) d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = y + 3$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = y + 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 3$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 \sec^{2} (x) d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 \sec^{2} (x) d x$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int 2 \sec^{2} (x) d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 2 \int \sec^{2} (x) d x$

Langkah 2.3.2

Karena turunan dari $\tan (x)$ adalah $\sec^{2} (x)$ , maka integral dari $\sec^{2} (x)$ adalah $\tan (x)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 2 (\tan (x) + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 2 \tan (x) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = 2 \tan (x) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y + 3 |)} = e^{2 \tan (x) + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y + 3 |) = 2 \tan (x) + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 \tan (x) + C} = | y + 3 |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y + 3 | = e^{2 \tan (x) + C}$ .

$| y + 3 | = e^{2 \tan (x) + C}$

Langkah 3.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm e^{2 \tan (x) + C}$

Langkah 3.3.3

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \pm e^{2 \tan (x) + C} - 3$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{2 \tan (x) + C}$ sebagai $e^{2 \tan (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 \tan (x)} e^{C} - 3$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{2 \tan (x)}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 \tan (x)} - 3$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{2 \tan (x)} - 3$