Kalkulus Contoh

$\frac{1}{x} \cdot \frac{d y}{d x} - \frac{2}{x^{2}} y = x^{2} \cos (x)$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{2}{x^{2}} y = x^{2} \cos (x)$ dengan $x$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} x - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

Langkah 1.2

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

Langkah 1.3

Gabungkan $\frac{\frac{d y}{d x}}{x}$ dan $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

Langkah 1.4

Gabungkan $y$ dan $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{y \cdot 2}{x^{2}} x = x^{2} \cos (x) x$

Langkah 1.5

Gabungkan $x$ dan $\frac{y \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{2} \cos (x) x$

Langkah 1.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1} x^{2} \cos (x)$

Langkah 1.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1 + 2} \cos (x)$

Langkah 1.8

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

Langkah 1.9

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

Langkah 1.9.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

Langkah 1.10

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.1

Faktorkan $x$ dari $x y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

Langkah 1.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x \cdot x} = x^{3} \cos (x)$

Langkah 1.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x \cdot x} = x^{3} \cos (x)$

Langkah 1.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y \cdot 2}{x} = x^{3} \cos (x)$

Langkah 1.11

Susun kembali $y$ dan $2$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cdot y}{x} = x^{3} \cos (x)$

Langkah 1.12

Faktorkan $y$ dari $- \frac{2 \cdot y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = x^{3} \cos (x)$

Langkah 1.13

Susun kembali $y$ dan $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = x^{3} \cos (x)$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $- \frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 2}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Langkah 3.2.4

Kalikan $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Kalikan $\frac{2 y}{x}$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Langkah 3.2.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Langkah 3.2.4.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Langkah 3.2.4.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3} \cos (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (x \cos (x)))$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (x \cos (x)))$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = x \cos (x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = x \cos (x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int x \cos (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x \cos (x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

Langkah 7.2

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) - (- \cos (x) + C)$

Langkah 7.3

Tulis kembali $x \sin (x) - (- \cos (x) + C)$ sebagai $x \sin (x) + \cos (x) + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) + \cos (x) + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = x \sin (x) + \cos (x) + C$

Langkah 8.2

Kalikan kedua ruas dengan $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

Langkah 8.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Sederhanakan $(x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = x \sin (x) x^{2} + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Langkah 8.3.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$y = x^{2} x \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Langkah 8.3.2.1.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = x^{2} x^{1} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Langkah 8.3.2.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = x^{2 + 1} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Langkah 8.3.2.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y = x^{3} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Langkah 8.3.2.1.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $x^{3} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$ .

$y = x^{3} \sin (x) + x^{2} \cos (x) + C x^{2}$

Langkah 8.3.2.1.4

Pindahkan $x^{2} \cos (x)$ .

$y = x^{3} \sin (x) + C x^{2} + x^{2} \cos (x)$

Langkah 8.3.2.1.5

Susun kembali $x^{3} \sin (x)$ dan $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + x^{3} \sin (x) + x^{2} \cos (x)$