Kalkulus Contoh

$\frac{d F}{d x} = 4 e^{x} + 5 x^{2}$ , $F (0) = - 4$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d F = (4 e^{x} + 5 x^{2}) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d F = \int 4 e^{x} + 5 x^{2} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$F + C_{1} = \int 4 e^{x} + 5 x^{2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$F + C_{1} = \int 4 e^{x} d x + \int 5 x^{2} d x$

Langkah 2.3.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$F + C_{1} = 4 \int e^{x} d x + \int 5 x^{2} d x$

Langkah 2.3.3

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$F + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + \int 5 x^{2} d x$

Langkah 2.3.4

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$F + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 5 \int x^{2} d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$F + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Sederhanakan.

$F + C_{1} = 4 e^{x} + 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{3}$ .

$F + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{5}{3} x^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.7

Susun kembali suku-suku.

$F + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$F = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $- 4$ untuk $F$ padda $F = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} + K$ .

$- 4 = \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K = - 4$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K = - 4$

Langkah 4.2

Sederhanakan $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0 + 4 e^{0} + K = - 4$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $\frac{5}{3}$ dengan $0$ .

$0 + 4 e^{0} + K = - 4$

Langkah 4.2.1.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$0 + 4 \cdot 1 + K = - 4$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$0 + 4 + K = - 4$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $0$ dan $4$ .

$4 + K = - 4$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = - 4 - 4$

Langkah 4.3.2

Kurangi $4$ dengan $- 4$ .

$K = - 8$

Langkah 5

Substitusikan $- 8$ untuk $K$ dalam $F = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 8$ untuk $K$ .

$F = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} - 8$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{5}{3}$ dan $x^{3}$ .

$F = \frac{5 x^{3}}{3} + 4 e^{x} - 8$