Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{x}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{x}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{1}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 1 - y$ . Kemudian $d u = - d y$ sehingga $- d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 1 - y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 2.2.1.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.2

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| 1 - y |) = \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$- \ln (| 1 - y |) - \ln (| x |) = C$

Langkah 3.2

Tambahkan $\ln (| x |)$ ke kedua sisi persamaan.

$- \ln (| 1 - y |) = C + \ln (| x |)$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $- \ln (| 1 - y |) = C + \ln (| x |)$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| 1 - y |) = C + \ln (| x |)$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| 1 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 3.3.2.2

Bagilah $\ln (| 1 - y |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 3.3.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 3.3.3.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Langkah 3.3.3.1.4

Tulis kembali $- 1 \cdot \ln (| x |)$ sebagai $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C - \ln (| x |)$

Langkah 3.4

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 1 - y |) + \ln (| x |) = - C$

Langkah 3.5

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - y | | x |) = - C$

Langkah 3.6

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| (1 - y) x |) = - C$

Langkah 3.7

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 x - y x |) = - C$

Langkah 3.8

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\ln (| x - y x |) = - C$

Langkah 3.9

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| x - y x |)} = e^{- C}$

Langkah 3.10

Tulis kembali $\ln (| x - y x |) = - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | x - y x |$

Langkah 3.11

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| x - y x | = e^{- C}$ .

$| x - y x | = e^{- C}$

Langkah 3.11.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$x - y x = \pm e^{- C}$

Langkah 3.11.3

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y x = \pm e^{- C} - x$

Langkah 3.11.4

Bagi setiap suku pada $- y x = \pm e^{- C} - x$ dengan $- x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.4.1

Bagilah setiap suku di $- y x = \pm e^{- C} - x$ dengan $- x$ .

$\frac{- y x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Langkah 3.11.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Langkah 3.11.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Langkah 3.11.4.2.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Langkah 3.11.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.4.3.1.1

Sederhanakan $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

Langkah 3.11.4.3.1.2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Langkah 3.11.4.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.4.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Langkah 3.11.4.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{C}{x} + 1$