Kalkulus Contoh

$(x - 2 y) d x + (2 y - 2 x) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2 y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Langkah 1.2.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

Langkah 1.4

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 2 y - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - 2 x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 2.2.2

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2$

Langkah 2.4

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 2$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 2$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = - 2$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 2 = - 2$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x - 2 y d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = x - 2 y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int x d x + \int - 2 y d x$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 y d x$

Langkah 5.3

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 y x + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y - 2 x$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + g (y)] = 2 y - 2 x$

Langkah 8.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

Langkah 8.2.2

Karena $\frac{1}{2} x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{1}{2} x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 y x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $- 2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 y x$ terhadap $y$ adalah $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

Langkah 8.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$0 - 2 x + \frac{d g}{d y} = 2 y - 2 x$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$- 2 x + \frac{d g}{d y} = 2 y - 2 x$

Langkah 8.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} - 2 x = 2 y - 2 x$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $2 x$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} = 2 y - 2 x + 2 x$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 y - 2 x + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Langkah 10

Temukan $2 y$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Langkah 10.3

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (y) = 2 \int y d y$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + y^{2} + C$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - 2 y x + y^{2} + C$