Kalkulus Contoh

$(y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}) d x + (e^{x} + 2 x y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $e^{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y e^{x}$ terhadap $y$ adalah $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $2 e^{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 e^{x}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 0 + 2 y$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tambahkan $e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 2 y$

Langkah 1.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + e^{x}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = e^{x} + 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + 2 x y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} + 2 x y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y \cdot 1$

Langkah 2.4.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y$

Langkah 2.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + e^{x}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 y + e^{x}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 y + e^{x}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y + e^{x} = 2 y + e^{x}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$2 y + e^{x} = 2 y + e^{x}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x} + 2 x y d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = e^{x} + 2 x y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int e^{x} d y + \int 2 x y d y$

Langkah 5.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = e^{x} y + C + \int 2 x y d y$

Langkah 5.3

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2 x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = e^{x} y + C + 2 x \int y d y$

Langkah 5.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{x} y + C + 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$f (x, y) = e^{x} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x y^{2} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{x} y + \frac{2}{2} x y^{2} + C$

Langkah 5.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = e^{x} y + \frac{2}{2} x y^{2} + C$

Langkah 5.6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = e^{x} y + 1 x y^{2} + C$

Langkah 5.6.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y + x y^{2} + g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} y + x y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{x} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e^{x} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y e^{x} + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y^{2}$ terhadap $x$ adalah $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$y e^{x} + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y e^{x} + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Langkah 8.4.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$y e^{x} + y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y e^{x} + y^{2} + \frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Langkah 8.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} + e^{x} y = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Langkah 8.6.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + y^{2} + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} + y e^{x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2}$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $y e^{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2} - y e^{x}$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2} - y e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kurangi $y^{2}$ dengan $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + 0 - y e^{x}$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $y e^{x} + 2 e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} - y e^{x}$

Langkah 9.1.3.3

Kurangi $y e^{x}$ dengan $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x} + 0$

Langkah 9.1.3.4

Tambahkan $2 e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x}$

Langkah 10

Temukan $2 e^{x}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 2 e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 e^{x} d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 e^{x} d x$

Langkah 10.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (x) = 2 \int e^{x} d x$

Langkah 10.4

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$g (x) = 2 (e^{x} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan.

$g (x) = 2 e^{x} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + 2 e^{x} + C$

Langkah 12

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + 2 e^{x} + C$ .

$f (x, y) = y e^{x} + x y^{2} + 2 e^{x} + C$