Kalkulus Contoh

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + 2 x]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{2} + 2 x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Langkah 1.3

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [2 x]$

Langkah 1.5

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Langkah 1.6

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Tambahkan $0$ dan $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Langkah 1.6.2

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $0$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 0$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 y = 0$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y + 0}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $2 y$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $2 y$ untuk $N$ .

$\frac{2 y + 0}{2 y}$

Langkah 4.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $2 y + 0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y$ .

$\frac{2 (y) + 0}{2 y}$

Langkah 4.3.2.2

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$\frac{2 (y) + 2 \cdot 0}{2 y}$

Langkah 4.3.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (y) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

Langkah 4.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 y$ .

$\frac{2 (y + 0)}{2 (y)}$

Langkah 4.3.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

Langkah 4.3.2.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y + 0}{y}$

Langkah 4.3.3

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$\frac{y}{y}$

Langkah 4.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{y}$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan konstanta.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$ dengan faktor integral $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x^{2} + y^{2} + 2 x$ dengan $e^{x}$ .

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) e^{x} d x + 2 y d y = 0$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $2 y$ dengan $e^{x}$ .

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y e^{x} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = 2 y e^{x}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $2 e^{x}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2 e^{x}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.2

Gabungkan $\frac{2}{2}$ dan $e^{x}$ .

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.3.2

Bagilah $e^{x}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e^{x} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Langkah 11.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $y^{2} e^{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$

Langkah 12.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Kurangi $y^{2} e^{x}$ dengan $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 0$

Langkah 12.1.2.2

Tambahkan $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Langkah 13

Temukan $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Langkah 13.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (x) = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Langkah 13.4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Langkah 13.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (x) = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Langkah 13.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Langkah 13.7

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Langkah 13.8

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

Langkah 13.9

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

Langkah 13.10

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Langkah 13.11

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Langkah 13.12

Sederhanakan.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Langkah 15

Sederhanakan $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C$

Langkah 15.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$

Langkah 15.2

Gabungkan suku balikan dalam $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Tambahkan $- 2 x e^{x}$ dan $2 x e^{x}$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C$

Langkah 15.2.2

Tambahkan $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ dan $0$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C$

Langkah 15.2.3

Kurangi $2 e^{x}$ dengan $2 e^{x}$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 0 + C$

Langkah 15.2.4

Tambahkan $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x}$ dan $0$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$

Langkah 15.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} + C$