Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x + 2}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2} y$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x + 2} y)$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $y$ dari $\frac{x}{x + 2} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 2})$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 2})$

Langkah 1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah $x$ dengan $x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$x$

$0$

Langkah 2.3.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

Langkah 2.3.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x + 2$

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

Langkah 2.3.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

Langkah 2.3.1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 2.3.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Langkah 2.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Langkah 2.3.7

Biarkan $u = x + 2$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Biarkan $u = x + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1.1

Diferensialkan $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Langkah 2.3.7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.3.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.3.7.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.7.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3})$

Langkah 2.3.9

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| u |) + C_{4}$

Langkah 2.3.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |) = x + C$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| x + 2 |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| y |) + \ln ({| x + 2 |}^{2}) = x + C$

Langkah 3.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x + 2 |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| y |) + \ln ({(x + 2)}^{2}) = x + C$

Langkah 3.2.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y | {(x + 2)}^{2})} = e^{x + C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y | {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ .

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$

Langkah 3.5.2

Bagi setiap suku pada $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ dengan ${(x + 2)}^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Bagilah setiap suku di $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ dengan ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 2)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.5.2.2.1.2

Bagilah $| y |$ dengan $1$ .

$| y | = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.5.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{x + C}$ sebagai $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{x}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C \frac{C e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$