Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 20 - 4 x - 5 y + x y$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{d y}{d x} = (20 - 4 x) - 5 y + x y$

Langkah 1.1.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{d y}{d x} = 4 (5 - x) - y (5 - x)$

Langkah 1.1.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $5 - x$ .

$\frac{d y}{d x} = (5 - x) (4 - y)$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{4 - y}$ .

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((5 - x) (4 - y))$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4 - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $4 - y$ dari $(5 - x) (4 - y)$ .

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((4 - y) (5 - x))$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((4 - y) (5 - x))$

Langkah 1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = 5 - x$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{4 - y} d y = (5 - x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{4 - y} d y = \int 5 - x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 4 - y$ . Kemudian $d u = - d y$ sehingga $- d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 4 - y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 2.2.1.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 5 - x d x$

Langkah 2.2.2

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 5 - x d x$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 5 - x d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 5 - x d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 5 - x d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 - y$ .

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = \int 5 - x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = \int 5 d x + \int - x d x$

Langkah 2.3.2

Terapkan aturan konstanta.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} + \int - x d x$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} - \int x d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6

Susun kembali suku-suku.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 4 - y |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| 4 - y |)}{1} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.2.2

Bagilah $\ln (| 4 - y |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\ln (| 4 - y |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.2

Bagilah $\frac{1}{2} x^{2}$ dengan $1$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.4

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{5 x}{- 1}$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (5 x) + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.5

Tulis kembali $- 1 \cdot (5 x)$ sebagai $- (5 x)$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - (5 x) + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.6

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.7

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - 1 \cdot C$

Langkah 3.1.3.1.8

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - C$

Langkah 3.2

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 4 - y |)} = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} = | 4 - y |$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 4 - y | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$ .

$| 4 - y | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

Langkah 3.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$4 - y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

Langkah 3.4.3

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$

Langkah 3.4.4

Bagi setiap suku pada $- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Bagilah setiap suku di $- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 3.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 3.4.4.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1

Untuk menuliskan $\frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.2

Untuk menuliskan $\frac{- 4}{- 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $1$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.3.1

Kalikan $\frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1}$ dengan $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.3.3

Kalikan $\frac{- 4}{- 1}$ dengan $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4 \cdot - 1}{- - 1}$

Langkah 3.4.4.3.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1 - 4 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.5.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) - 4 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.5.2

Tulis kembali $- 1 (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C})$ sebagai $- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) - 4 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.5.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4}{1}$

Langkah 3.4.4.3.6

Bagilah $- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4$ dengan $1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x + C}) + 4$

Langkah 4.2

Tulis kembali $e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x + C}$ sebagai $e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x} e^{C}) + 4$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}$ dan $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}) + 4$

Langkah 4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = - (C e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}) + 4$