Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 6 x y - 2 x$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $2 x$ dari $6 x y - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $2 x$ dari $6 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (3 y) - 2 x$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $2 x$ dari $- 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (3 y) + 2 x (- 1)$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (3 y) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (3 y - 1)$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{3 y - 1}$ .

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 1} (2 x (3 y - 1))$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{3 y - 1} (x (3 y - 1))$

Langkah 1.3.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{3 y - 1}$ .

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 y - 1} (x (3 y - 1))$

Langkah 1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Faktorkan $3 y - 1$ dari $x (3 y - 1)$ .

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 y - 1} ((3 y - 1) x)$

Langkah 1.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 y - 1} ((3 y - 1) x)$

Langkah 1.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{3 y - 1} d y = 2 x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{3 y - 1} d y = \int 2 x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 3 y - 1$ . Kemudian $d u = 3 d y$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 3 y - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $3 y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [3 y - 1]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 y - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 2.2.1.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.2.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 y - 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) = x^{2} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |)) = 3 (x^{2} + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\ln (| 3 y - 1 |)$ .

$3 \frac{\ln (| 3 y - 1 |)}{3} = 3 (x^{2} + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{\ln (| 3 y - 1 |)}{3} = 3 (x^{2} + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 3 y - 1 |) = 3 (x^{2} + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 3 y - 1 |) = 3 x^{2} + 3 C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 3 y - 1 |)} = e^{3 x^{2} + 3 C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (| 3 y - 1 |) = 3 x^{2} + 3 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{3 x^{2} + 3 C} = | 3 y - 1 |$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 3 y - 1 | = e^{3 x^{2} + 3 C}$ .

$| 3 y - 1 | = e^{3 x^{2} + 3 C}$

Langkah 3.5.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$3 y - 1 = \pm e^{3 x^{2} + 3 C}$

Langkah 3.5.3

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$3 y = \pm e^{3 x^{2} + 3 C} + 1$

Langkah 3.5.4

Bagi setiap suku pada $3 y = \pm e^{3 x^{2} + 3 C} + 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Bagilah setiap suku di $3 y = \pm e^{3 x^{2} + 3 C} + 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 3 C}}{3} + \frac{1}{3}$

Langkah 3.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 3 C}}{3} + \frac{1}{3}$

Langkah 3.5.4.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 3 C}}{3} + \frac{1}{3}$

Langkah 3.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 3 C} + 1}{3}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + C} + 1}{3}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $e^{3 x^{2} + C}$ sebagai $e^{3 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2}} e^{C} + 1}{3}$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{3 x^{2}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{3 x^{2}} + 1}{3}$

Langkah 4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \frac{C e^{3 x^{2}} + 1}{3}$