Kalkulus Contoh

$y \frac{d y}{d x} - (1 + y) x^{2} = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 \cdot 1 - y) x^{2} = 0$

Langkah 1.1.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 - y) x^{2} = 0$

Langkah 1.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y \frac{d y}{d x} - 1 x^{2} - y x^{2} = 0$

Langkah 1.1.1.4

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} - x^{2} - y x^{2} = 0$

Langkah 1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d y}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Tambahkan $x^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$y \frac{d y}{d x} - y x^{2} = x^{2}$

Langkah 1.1.2.2

Tambahkan $y x^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$

Langkah 1.1.3

Bagi setiap suku pada $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ dengan $y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ dengan $y$ .

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Langkah 1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Langkah 1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Langkah 1.1.3.3.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + x^{2}$

Langkah 1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $\frac{x^{2}}{y} + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $\frac{x^{2}}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2}$

Langkah 1.2.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$

Langkah 1.2.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + 1)$

Langkah 1.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + \frac{y}{y})$

Langkah 1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1 + y}{y}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{y}{1 + y}$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} (x^{2} \frac{1 + y}{y})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1 + y}{y}$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

Langkah 1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x^{2} (1 + y))$

Langkah 1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Faktorkan $1 + y$ dari $x^{2} (1 + y)$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

Langkah 1.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

Langkah 1.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{y}{1 + y} d y = x^{2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{1 + y} d y = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Susun kembali $1$ dan $y$ .

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.2

Bagilah $y$ dengan $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Langkah 2.2.2.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $y$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Langkah 2.2.2.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Langkah 2.2.2.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Langkah 2.2.2.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.4

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.6

Biarkan $u = y + 1$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Biarkan $u = y + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1.1

Diferensialkan $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 2.2.6.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.6.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.6.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.7

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.8

Sederhanakan.

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} + C$