Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{3 + y}$ .

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y} \cdot \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3 + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y} \cdot \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{3 + y} d y = \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{3 + y} d y = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = 3 + y$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = 3 + y$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $3 + y$ .

$\frac{d}{d y} [3 + y]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.1.1.3

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 + y$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = 1 - 2 x$ . Kemudian $d u_{2} = - 2 d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = 1 - 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Langkah 2.3.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 2.3.1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 2.3.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$0 - 2$

Langkah 2.3.1.1.4

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$- 2$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 2.3.2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 2.3.5

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 - 2 x$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| 3 + y |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gabungkan $\ln (| 1 - 2 x |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) = - \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} + C$

Langkah 3.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 3 + y |) + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Langkah 3.3

Untuk menuliskan $\ln (| 3 + y |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Langkah 3.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Gabungkan $\ln (| 3 + y |)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 3 + y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Langkah 3.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (| 3 + y |) \cdot 2 + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Langkah 3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\ln (| 3 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 3 + y |) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Langkah 3.6

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Sederhanakan $\frac{2 \ln (| 3 + y |) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| 3 + y |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{\ln ({| 3 + y |}^{2}) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Langkah 3.6.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| 3 + y |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\frac{\ln ({(3 + y)}^{2}) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Langkah 3.6.1.1.3

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}{2} = C$

Langkah 3.6.1.2

Tulis kembali $\frac{\ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}{2}$ sebagai $\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |) = C$

Langkah 3.6.1.3

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$\ln ({({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 3.6.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke ${(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |$ .

$\ln ({({(3 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 3.6.1.5

Kalikan eksponen dalam ${({(3 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(3 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 3.6.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln ({(3 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 3.6.1.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln ({(3 + y)}^{1} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 3.6.1.6

Sederhanakan.

$\ln ((3 + y) {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 3.6.1.7

Terapkan sifat distributif.

$\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 3.7

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Langkah 3.8

Tulis kembali $\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.9

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Langkah 3.9.2

Kurangkan $3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.9.3

Bagi setiap suku pada $y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.1

Bagilah setiap suku di $y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.9.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.9.3.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.9.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{C - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$