Kalkulus Contoh

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x e^{x + y}$

Langkah 1

Biarkan $v = e^{x + y}$ . Masukkan $v$ untuk semua kejadian $e^{x + y}$ .

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x v$

Langkah 2

Tentukan $\frac{d v}{d x}$ dengan mendiferensiasikan $e^{x + y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + y')$

Langkah 3

Substitusikan $v$ untuk $e^{x + y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 + y')$

Langkah 4

Substitusikan kembali turunan ke persamaan diferensial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 0) = x v$

Langkah 4.2

Tambahkan $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ dan $0$ .

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v}) = x v$

Langkah 5

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Selesaikan $\frac{d v}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan kedua ruas dengan $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

Langkah 5.1.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} = x v \cdot v$

Langkah 5.1.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.2.1

Kalikan $v$ dengan $v$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.2.1.1

Pindahkan $v$ .

$\frac{d v}{d x} = x (v \cdot v)$

Langkah 5.1.2.2.1.2

Kalikan $v$ dengan $v$ .

$\frac{d v}{d x} = x v^{2}$

Langkah 5.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (x v^{2})$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $v^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $v^{2}$ dari $x v^{2}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

Langkah 5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

Langkah 5.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = x$

Langkah 5.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{v^{2}} d v = x d x$

Langkah 6

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int x d x$

Langkah 6.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Pindahkan $v^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int x d x$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(v^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int x d x$

Langkah 6.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int x d x$

Langkah 6.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $v^{- 2}$ terhadap $v$ adalah $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int x d x$

Langkah 6.2.3

Tulis kembali $- v^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int x d x$

Langkah 6.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 6.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{v} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Langkah 7

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Langkah 7.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$v, 2, 1$

Langkah 7.2.2

Karena $v, 2, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $1, 2, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $v^{1}$ .

Langkah 7.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 7.2.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 7.2.5

Karena $2$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $2$ .

$2$ adalah bilangan prima

Langkah 7.2.6

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 7.2.7

KPK dari $1, 2, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2$

Langkah 7.2.8

Faktor untuk $v^{1}$ adalah $v$ itu sendiri.

$v^{1} = v$

$v$ terjadi $1$ kali.

Langkah 7.2.9

KPK dari $v^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$v$

Langkah 7.2.10

KPK untuk $v, 2, 1$ adalah bagian bilangan $2$ dikalikan dengan bagian variabel.

$2 v$

Langkah 7.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ dengan $2 v$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ dengan $2 v$ .

$- \frac{1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{v}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Langkah 7.3.2.1.2

Faktorkan $v$ dari $2 v$ .

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Langkah 7.3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Langkah 7.3.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Langkah 7.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Langkah 7.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

Langkah 7.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

Langkah 7.3.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 = x^{2} v + K (2 v)$

Langkah 7.3.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 2 = x^{2} v + 2 K v$

Langkah 7.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x^{2} v + 2 K v = - 2$ .

$x^{2} v + 2 K v = - 2$

Langkah 7.4.2

Faktorkan $v$ dari $x^{2} v + 2 K v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Faktorkan $v$ dari $x^{2} v$ .

$v x^{2} + 2 K v = - 2$

Langkah 7.4.2.2

Faktorkan $v$ dari $2 K v$ .

$v (x^{2}) + v (2 K) = - 2$

Langkah 7.4.2.3

Faktorkan $v$ dari $v (x^{2}) + v (2 K)$ .

$v (x^{2} + 2 K) = - 2$

Langkah 7.4.3

Bagi setiap suku pada $v (x^{2} + 2 K) = - 2$ dengan $x^{2} + 2 K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.3.1

Bagilah setiap suku di $v (x^{2} + 2 K) = - 2$ dengan $x^{2} + 2 K$ .

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Langkah 7.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Langkah 7.4.3.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Langkah 7.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$v = - \frac{2}{x^{2} + 2 K}$

Langkah 8

Sederhanakan konstanta dari integral.

$v = - \frac{2}{x^{2} + K}$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $e^{x + y}$ .

$e^{x + y} = - \frac{2}{x^{2} + K}$

Langkah 10

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Langkah 10.2

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Perluas $\ln (e^{x + y})$ dengan memindahkan $x + y$ ke luar logaritma.

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Langkah 10.2.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Langkah 10.2.3

Kalikan $x + y$ dengan $1$ .

$x + y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Langkah 10.3

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K}) - x$