Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - y x = x$ , $y (0) = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $y x$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} = x + y x$

Langkah 1.2

Faktorkan $x$ dari $x + y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{1} + y x$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + y x$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $x$ dari $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + x y$

Langkah 1.2.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 1 + x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x (1 + y)$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x (1 + y))$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $1 + y$ dari $x (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x)$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x)$

Langkah 1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{1 + y} d y = x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 1 + y$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 1 + y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 1 + y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | 1 + y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$| 1 + y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Langkah 3.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Langkah 3.3.4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} - 1$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ sebagai $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} - 1$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$ .

$0 = C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1$

Langkah 6

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1 = 0$ .

$C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1 = 0$

Langkah 6.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$C e^{\frac{0}{2}} - 1 = 0$

Langkah 6.2.2

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$C e^{0} - 1 = 0$

Langkah 6.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$C \cdot 1 - 1 = 0$

Langkah 6.2.4

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$C - 1 = 0$

Langkah 6.3

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$C = 1$

Langkah 7

Substitusikan $1$ untuk $C$ dalam $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $1$ untuk $C$ .

$y = 1 e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Langkah 7.2

Kalikan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ dengan $1$ .

$y = e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$