Kalkulus Contoh

$\frac{d x}{d y} = 2 y + x + 3$

Langkah 1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d x}{d y} - x = 2 y + 3$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (y) d y}$ , di mana $P (y) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 1 d y}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- y + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- y}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} + e^{- y} (- x) = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + e^{- y} \cdot 3$

Langkah 3.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - x e^{- y} = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d y} [e^{- y} x] d y = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

Langkah 7.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{- y} x = 2 \int y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

Langkah 7.3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = y$ dan $d v = e^{- y}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Langkah 7.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Langkah 7.5.2

Kalikan $\int e^{- y} d y$ dengan $1$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Langkah 7.6

Biarkan $u_{1} = - y$ . Kemudian $d u_{1} = - d y$ sehingga $- d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Biarkan $u_{1} = - y$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1.1

Diferensialkan $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 7.6.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 7.6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 7.6.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 7.6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

Langkah 7.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

Langkah 7.8

Integral dari $e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $e^{u_{1}}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int 3 e^{- y} d y$

Langkah 7.9

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int e^{- y} d y$

Langkah 7.10

Biarkan $u_{2} = - y$ . Kemudian $d u_{2} = - d y$ sehingga $- d u_{2} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.10.1

Biarkan $u_{2} = - y$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.10.1.1

Diferensialkan $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 7.10.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 7.10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 7.10.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 7.10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 7.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 7.12

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 7.13

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 (e^{u_{2}} + C)$

Langkah 7.14

Sederhanakan.

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) - 3 e^{u_{2}} + C$

Langkah 7.15

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.15.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- y$ .

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{u_{2}} + C$

Langkah 7.15.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- y$ .

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ dengan $e^{- y}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ dengan $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$x = \frac{2 (- y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Langkah 8.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 2 (y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Langkah 8.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 2 e^{- y} - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Langkah 8.3.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Kurangi $3 e^{- y}$ dengan $- 2 e^{- y}$ .

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Langkah 8.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y e^{- y}$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Langkah 8.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 5 e^{- y}$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

Langkah 8.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y})$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

Langkah 8.3.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $C$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)}{e^{- y}}$

Langkah 8.3.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

Langkah 8.3.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.7.1

Tulis kembali $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ sebagai $- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ .

$x = \frac{- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

Langkah 8.3.3.7.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C}{e^{- y}}$