Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

Langkah 1

Tulis soal sebagai pernyataan matematika.

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

Langkah 2

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

Langkah 2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d t} = 3 t^{2}$

Langkah 2.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = 3 t^{2} d t$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int 3 t^{2} d t$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

Langkah 3.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{2}$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Tulis kembali $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ sebagai $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

Langkah 3.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Langkah 3.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Langkah 3.3.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

Langkah 3.3.3.2.3

Kalikan $t^{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = t^{3} + K$

Langkah 4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (t^{3} + K)$

Langkah 4.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

Langkah 4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

Langkah 4.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (t^{3} + K)$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 t^{3} + 2 K$

Langkah 4.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{2 t^{3} + 2 K}$

Langkah 4.4

Faktorkan $2$ dari $2 t^{3} + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 t^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

Langkah 4.4.2

Faktorkan $2$ dari $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

Langkah 4.4.3

Faktorkan $2$ dari $2 (t^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Langkah 4.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Langkah 4.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Langkah 4.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Langkah 5

Karena $y$ bukan negatif pada sarat awal $(2, 0)$ , hanya pertimbangkan $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ untuk menentukan $K$ . Substitusikan $2$ untuk $t$ dan $0$ untuk $y$ .

$0 = \sqrt{2 (2^{3} + K)}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$ .

$\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$

Langkah 6.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{2 (2^{3} + K)}}^{2} = 0^{2}$

Langkah 6.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 (2^{3} + K)}$ sebagai ${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(2 (2^{3} + K))}^{1} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.1.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

${(2 (8 + K))}^{1} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

${(2 \cdot 8 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.1.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.3.1

Kalikan $2$ dengan $8$ .

${(16 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.1.3.2

Sederhanakan.

$16 + 2 K = 0^{2}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$16 + 2 K = 0$

Langkah 6.4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kurangkan $16$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 K = - 16$

Langkah 6.4.2

Bagi setiap suku pada $2 K = - 16$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Bagilah setiap suku di $2 K = - 16$ dengan $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

Langkah 6.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

Langkah 6.4.2.2.1.2

Bagilah $K$ dengan $1$ .

$K = \frac{- 16}{2}$

Langkah 6.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.3.1

Bagilah $- 16$ dengan $2$ .

$K = - 8$

Langkah 7

Substitusikan $- 8$ untuk $K$ dalam $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $- 8$ untuk $K$ .

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 8)}$

Langkah 7.2

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 2^{3})}$

Langkah 7.3

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = t$ dan $b = 2$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + t \cdot 2 + 2^{2}))}$

Langkah 7.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $t$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 \cdot t + 2^{2}))}$

Langkah 7.4.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 t + 4))}$

$y = \sqrt{2 (t - 2) (t^{2} + 2 t + 4)}$