Kalkulus Contoh

$x y d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

Langkah 1.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

Langkah 1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - (x^{2} + y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + y^{2})]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (x^{2} + y^{2})$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Langkah 2.5

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0)$

Langkah 2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

Langkah 2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 2 x$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = - 2 x$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$x = - 2 x$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 2 x$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $x$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 x - x}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $x y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $x y$ untuk $M$ .

$\frac{- 2 x - x}{x y}$

Langkah 4.3.2

Kurangi $x$ dengan $- 2 x$ .

$\frac{- 3 x}{x y}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 x}{x y}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 3}{y}$

Langkah 4.3.4

Substitusikan $x y$ untuk $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Langkah 5.2

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 5.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- 3 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 3$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Langkah 5.6.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $x y d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x y$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$x y \frac{1}{y^{3}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$y x \frac{1}{y^{3}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.2.2

Faktorkan $y$ dari $y^{3}$ .

$y x \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y x \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $- (x^{2} + y^{2})$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 6.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x}{y^{2}} d x + (- x^{2} - y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 6.6

Kalikan $- x^{2} - y^{2}$ dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- x^{2} - y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 6.7

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2}) - y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 6.8

Faktorkan $- 1$ dari $- y^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2}) - (y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 6.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 6.10

Tulis kembali $- (x^{2} + y^{2})$ sebagai $- 1 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- 1 (x^{2} + y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 6.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{x}{y^{2}} d x - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{2}} d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = \frac{x}{y^{2}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $\frac{1}{y^{2}}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{y^{2}}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \int x d x$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $\frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{y^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2} \cdot 2} x^{2} + C$

Langkah 8.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot y^{2}} x^{2} + C$

Langkah 8.3.2.3

Kalikan $2$ dengan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 y^{2}} x^{2} + C$

Langkah 8.3.2.4

Gabungkan $\frac{1}{2 y^{2}}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $\frac{x^{2}}{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ terhadap $y$ adalah $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{y^{2}}$ sebagai ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{- 1}$ dan $g (y) = y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.7

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.9

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.10

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.11

Gabungkan $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ dan $y^{- 3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.12

Pindahkan $y^{- 3}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.13

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.13.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.13.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 (y^{3})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.3.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{3}} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Tambahkan $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} = 0$

Langkah 12.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + x^{2} + y^{2}}{y^{3}} = 0$

Langkah 12.1.1.3

Tambahkan $- x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{2}}{y^{3}} = 0$

Langkah 12.1.1.4

Tambahkan $0$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2}}{y^{3}} = 0$

Langkah 12.1.1.5

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 1}{y^{3}} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 1}{y^{2} y} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 1}{y^{2} y} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y} = 0$

Langkah 12.1.2

Kurangkan $\frac{1}{y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$

Langkah 13

Temukan $- \frac{1}{y}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y} d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{y} d y$

Langkah 13.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 13.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$g (y) = - (\ln (| y |) + C)$

Langkah 13.5

Sederhanakan.

$g (y) = - \ln (| y |) + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - \ln (| y |) + C$