Kalkulus Contoh

$(y + 4) d x + x d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(y + 4) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x d y = - (y + 4) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x (y + 4)}$ .

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x (y + 4)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y + 4$ dari $x (y + 4)$ .

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Langkah 3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y + 4} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u = y + 4$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u = y + 4$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Langkah 4.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 4$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Langkah 4.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Langkah 4.2.1.1.4

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y + 4$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y + 4 |) = - \ln (| x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y + 4 |) + \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 4 | | x |) = C$

Langkah 5.3

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| (y + 4) x |) = C$

Langkah 5.4

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y x + 4 x |) = C$

Langkah 5.5

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y x + 4 x |)} = e^{C}$

Langkah 5.6

Tulis kembali $\ln (| y x + 4 x |) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x + 4 x |$

Langkah 5.7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y x + 4 x | = e^{C}$ .

$| y x + 4 x | = e^{C}$

Langkah 5.7.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y x + 4 x = \pm e^{C}$

Langkah 5.7.3

Kurangkan $4 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y x = \pm e^{C} - 4 x$

Langkah 5.7.4

Bagi setiap suku pada $y x = \pm e^{C} - 4 x$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.4.1

Bagilah setiap suku di $y x = \pm e^{C} - 4 x$ dengan $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Langkah 5.7.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Langkah 5.7.4.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Langkah 5.7.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.4.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Langkah 5.7.4.3.1.2

Bagilah $- 4$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} - 4$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{C}{x} - 4$