Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{2} y - 8 x y$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $4 x y$ dari $4 x^{2} y - 8 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $4 x y$ dari $4 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x y (x) - 8 x y$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $4 x y$ dari $- 8 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x y (x) + 4 x y (- 2)$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $4 x y$ dari $4 x y (x) + 4 x y (- 2)$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x y (x - 2)$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (4 x y (x - 2))$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y} (x y (x - 2))$

Langkah 1.3.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y} (x y (x - 2))$

Langkah 1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $x y (x - 2)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y} (y (x (x - 2)))$

Langkah 1.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y} (y (x (x - 2)))$

Langkah 1.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x (x - 2))$

Langkah 1.3.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x \cdot x + x \cdot - 2)$

Langkah 1.3.5

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x^{2} + x \cdot - 2)$

Langkah 1.3.6

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x^{2} - 2 \cdot x)$

Langkah 1.3.7

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 4 (- 2 x)$

Langkah 1.3.8

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} - 8 x$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{2} - 8 x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{2} - 8 x d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} - 8 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Langkah 2.3.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 8 x d x$

Langkah 2.3.4

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 8$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 8 \int x d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3}) x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.3.2.4

Bagilah $- 4$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - 4 x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.7

Susun kembali suku-suku.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = - 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C}$ .

$| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $x^{3}$ .

$| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C}$

Langkah 3.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C}$ sebagai $e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}}$