Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 6 y \cos (3 x) = \cos (3 x)$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $6 y \cos (3 x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) - 6 y \cos (3 x)$

Langkah 1.2

Faktorkan $\cos (3 x)$ dari $\cos (3 x) - 6 y \cos (3 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) \cdot 1 - 6 y \cos (3 x)$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $\cos (3 x)$ dari $- 6 y \cos (3 x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) (- 6 y)$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $\cos (3 x)$ dari $\cos (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) (- 6 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) (1 - 6 y)$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{1 - 6 y}$ .

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} (\cos (3 x) (1 - 6 y))$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - 6 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $1 - 6 y$ dari $\cos (3 x) (1 - 6 y)$ .

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} ((1 - 6 y) \cos (3 x))$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} ((1 - 6 y) \cos (3 x))$

Langkah 1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \cos (3 x)$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{1 - 6 y} d y = \cos (3 x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{1 - 6 y} d y = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = 1 - 6 y$ . Kemudian $d u_{1} = - 6 d y$ sehingga $- \frac{1}{6} d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = 1 - 6 y$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $1 - 6 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 6 y]$

Langkah 2.2.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 6 y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Langkah 2.2.1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Langkah 2.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 6 y$ terhadap $y$ adalah $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

Langkah 2.2.1.1.3.3

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$0 - 6$

Langkah 2.2.1.1.4

Kurangi $6$ dengan $0$ .

$- 6$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 6} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{6}) d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.2.2.2

Kalikan $\frac{1}{u_{1}}$ dengan $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 6} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.2.2.3

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.2.4

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $1 - 6 y$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = 3 x$ . Kemudian $d u_{2} = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 2.3.1.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 x$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $- 6$ .

$- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |)) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\ln (| 1 - 6 y |)$ dan $\frac{1}{6}$ .

$- 6 (- \frac{\ln (| 1 - 6 y |)}{6}) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\ln (| 1 - 6 y |)}{6}$ ke dalam pembilangnya.

$- 6 \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Faktorkan $6$ dari $- 6$ .

$6 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$6 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- - \ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Langkah 3.2.1.1.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Langkah 3.2.1.1.3.2

Kalikan $\ln (| 1 - 6 y |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $- 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\sin (3 x)$ .

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{\sin (3 x)}{3} + C)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

Langkah 3.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Faktorkan $3$ dari $- 6$ .

$\ln (| 1 - 6 y |) = 3 (- 2) \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| 1 - 6 y |) = 3 \cdot - 2 \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

Langkah 3.2.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 2 \sin (3 x) - 6 C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 1 - 6 y |)} = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (| 1 - 6 y |) = - 2 \sin (3 x) - 6 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} = | 1 - 6 y |$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 1 - 6 y | = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$ .

$| 1 - 6 y | = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

Langkah 3.5.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$1 - 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

Langkah 3.5.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$

Langkah 3.5.4

Bagi setiap suku pada $- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$ dengan $- 6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Bagilah setiap suku di $- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$ dengan $- 6$ .

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Langkah 3.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Langkah 3.5.4.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Langkah 3.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.3.1.1

Sederhanakan $\frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{6} + \frac{- 1}{- 6}$

Langkah 3.5.4.3.1.2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{6} + \frac{1}{6}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) + C}}{6} + \frac{1}{6}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $e^{- 2 \sin (3 x) + C}$ sebagai $e^{- 2 \sin (3 x)} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x)} e^{C}}{6} + \frac{1}{6}$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{- 2 \sin (3 x)}$ dan $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 \sin (3 x)}}{6} + \frac{1}{6}$

Langkah 4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \frac{C e^{- 2 \sin (3 x)}}{6} + \frac{1}{6}$