Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ , $y (0) = 3$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $12$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 12 \int \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = \sin (x)$ . Kemudian $d u = \cos (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = \sin (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 2.3.2.1.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = 12 \int u^{2} d u$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tulis kembali $12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ sebagai $12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Gabungkan $12$ dan $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{3} u^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} u^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} u^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} u^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} u^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.2.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = 4 u^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = 4 \sin^{3} (x) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = 4 \sin^{3} (x) + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $3$ untuk $y$ padda $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ .

$3 = 4 \sin^{3} (0) + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 \sin^{3} (0) + K = 3$ .

$4 \sin^{3} (0) + K = 3$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan $4 \sin^{3} (0) + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$4 \cdot 0^{3} + K = 3$

Langkah 4.2.1.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$4 \cdot 0 + K = 3$

Langkah 4.2.1.1.3

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$0 + K = 3$

Langkah 4.2.1.2

Tambahkan $0$ dan $K$ .

$K = 3$

Langkah 5

Substitusikan $3$ untuk $K$ dalam $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $3$ untuk $K$ .

$y = 4 \sin^{3} (x) + 3$