Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 2 x$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 2 x d x}$

Langkah 1.2

Integralkan $- 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$e^{- 2 \int x d x}$

Langkah 1.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Tulis kembali $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- x^{2}}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (2 x)$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (2 x)$

Langkah 2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2}} x$

Langkah 2.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2}} x$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 x e^{- x^{2}}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 2 x e^{- x^{2}}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 2 x e^{- x^{2}} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{- x^{2}} y = \int 2 x e^{- x^{2}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{- x^{2}} y = 2 \int x e^{- x^{2}} d x$

Langkah 6.2

Biarkan $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Biarkan $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Diferensialkan $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Langkah 6.2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 6.2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 6.2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 6.2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 6.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Langkah 6.2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Langkah 6.2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Langkah 6.2.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = 2 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Langkah 6.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{- x^{2}} y = 2 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 6.4

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- x^{2}} y = 2 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

Langkah 6.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Sederhanakan.

$e^{- x^{2}} y = 2 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

Langkah 6.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Gabungkan $u_{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = 2 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

Langkah 6.5.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 \frac{u_{2}}{2} + C$

Langkah 6.5.2.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{u_{2}}{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{- 2 u_{2}}{2} + C$

Langkah 6.5.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 u_{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 (- u_{2})}{2} + C$

Langkah 6.5.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 (- u_{2})}{2 (1)} + C$

Langkah 6.5.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 (- u_{2})}{2 \cdot 1} + C$

Langkah 6.5.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{- x^{2}} y = \frac{- u_{2}}{1} + C$

Langkah 6.5.2.4.2.4

Bagilah $- u_{2}$ dengan $1$ .

$e^{- x^{2}} y = - u_{2} + C$

Langkah 6.5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - e^{- x^{2}} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{- x^{2}} y = - e^{- x^{2}} + C$ dengan $e^{- x^{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{- x^{2}} y = - e^{- x^{2}} + C$ dengan $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{- e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{- e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{- e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Langkah 7.3.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$y = - 1 + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$