Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}$ , $y (1) = 3$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

Langkah 2.3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 5}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Gabungkan $x^{- 4}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Langkah 2.3.4.2

Pindahkan $x^{- 4}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Langkah 2.3.5

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x$

Langkah 2.3.6

Integral dari $x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{- 3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 2.3.7.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $3$ untuk $y$ padda $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$

Langkah 4

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Langkah 4.2

Sederhanakan $- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{3}{4 \cdot 1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Langkah 4.2.1.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (1) + C = 3$

Langkah 4.2.1.4

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \cdot 0 + C = 3$

Langkah 4.2.1.5

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$- \frac{3}{4} + 0 + C = 3$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- \frac{3}{4}$ dan $0$ .

$- \frac{3}{4} + C = 3$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $\frac{3}{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$C = 3 + \frac{3}{4}$

Langkah 4.3.2

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$C = 3 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Langkah 4.3.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}$

Langkah 4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$C = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$C = \frac{12 + 3}{4}$

Langkah 4.3.5.2

Tambahkan $12$ dan $3$ .

$C = \frac{15}{4}$

Langkah 5

Substitusikan $\frac{15}{4}$ untuk $C$ dalam $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $\frac{15}{4}$ untuk $C$ .

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + \frac{15}{4}$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $4 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $4$ ke dalam logaritma.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln ({| x |}^{4}) + \frac{15}{4}$

Langkah 5.2.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{4}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln (x^{4}) + \frac{15}{4}$