Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} \cdot e^{2 y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{3 x} \cdot e^{2 y})$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $e^{2 y}$ dari $e^{3 x} \cdot e^{2 y}$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} (e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}))$

Langkah 1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} (e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}))$

Langkah 1.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}$

Langkah 1.2.2

Kalikan $e^{3 x - 2 y}$ dengan $e^{2 y}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x - 2 y + 2 y}$

Langkah 1.2.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 x - 2 y + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Tambahkan $- 2 y$ dan $2 y$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x + 0}$

Langkah 1.2.2.2.2

Tambahkan $3 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{e^{2 y}} d y = e^{3 x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{e^{2 y}} d y = \int e^{3 x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{2 y}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\int 1 {(e^{2 y})}^{- 1} d y = \int e^{3 x} d x$

Langkah 2.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{2 y \cdot - 1} d y = \int e^{3 x} d x$

Langkah 2.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\int 1 e^{- 2 y} d y = \int e^{3 x} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $e^{- 2 y}$ dengan $1$ .

$\int e^{- 2 y} d y = \int e^{3 x} d x$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u_{1} = - 2 y$ . Kemudian $d u_{1} = - 2 d y$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Biarkan $u_{1} = - 2 y$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Diferensialkan $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Langkah 2.2.2.1.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 2.2.2.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Langkah 2.2.3.2

Gabungkan $e^{u_{1}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Langkah 2.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Langkah 2.2.5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) = \int e^{3 x} d x$

Langkah 2.2.6

Integral dari $e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{3 x} d x$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Langkah 2.2.8

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- 2 y$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = 3 x$ . Kemudian $d u_{2} = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 2.3.1.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $e^{u_{2}}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.4

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 x$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $e^{- 2 y}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 2 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- - e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Langkah 3.2.1.1.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Langkah 3.2.1.1.3.2

Kalikan $e^{- 2 y}$ dengan $1$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $- 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{3 x}$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{e^{3 x}}{3} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{- 2 y} = - 2 \frac{e^{3 x}}{3} - 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{- 2 y} = \frac{- 2 e^{3 x}}{3} - 2 K$

Langkah 3.2.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{- 2 y} = - \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K$

Langkah 3.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- 2 y}) = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Langkah 3.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Perluas $\ln (e^{- 2 y})$ dengan memindahkan $- 2 y$ ke luar logaritma.

$- 2 y \ln (e) = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Langkah 3.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$- 2 y \cdot 1 = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Langkah 3.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Langkah 3.5

Bagi setiap suku pada $- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Bagilah setiap suku di $- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Langkah 3.5.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} + K)}{2}$